Chứng minh rằng:

Để chứng minh bất đẳng thức:

\[
\frac{1}{1+a^2} + \frac{1}{1+b^2} \geq \frac{2}{1+ab}
\]

với điều kiện \( ab \geq 1 \) và \( a, b \geq 1 \).

Chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Cụ thể, áp dụng nó cho hai biểu thức như sau:

\[
\left( \frac{1}{1+a^2} + \frac{1}{1+b^2} \right) \left( (1+a^2) + (1+b^2) \right) \geq (1+1)^2 = 4
\]

Từ đây, chúng ta có:

\[
\frac{1}{1+a^2} + \frac{1}{1+b^2} \geq \frac{4}{(1+a^2) + (1+b^2)}
\]

Tiếp theo, để chứng minh rằng:

\[
(1+a^2) + (1+b^2) \leq 2(1+ab)
\]

Ta có thể viết lại:

\[
1 + a^2 + 1 + b^2 \leq 2 + 2ab
\]

Điều này tương đương với:

\[
a^2 + b^2 \leq 2ab
\]

Dễ dàng biết rằng bất đẳng thức này đúng với mọi \( a, b \geq 1 \) do \( (a-b)^2 \geq 0 \).

Vậy có:

\[
(1+a^2) + (1+b^2) \leq 2(1+ab)
\]

Kết hợp hai kết luận trên, ta có:

\[
\frac{1}{1+a^2} + \frac{1}{1+b^2} \geq \frac{4}{2(1+ab)} = \frac{2}{1+ab}
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được bất đẳng thức:

\[
\frac{1}{1+a^2} + \frac{1}{1+b^2} \geq \frac{2}{1+ab}
\]

Với điều kiện \( a, b \geq 1 \) và \( ab \geq 1 \).