Để tìm giá trị của \( m \) sao cho hệ phương trình duy nhất có nghiệm, chúng ta cần xác định điều kiện của hệ phương trình. Hệ phương trình đã cho là:

\[
\begin{cases}
2x + my = 3 \quad (1) \\
mx + 4y = 8 \quad (2)
\end{cases}
\]

Hệ phương trình này có nghiệm duy nhất khi định thức của hệ số khác không. Định thức \( D \) được tính như sau:

\[
D = \begin{vmatrix}
2 & m \\
m & 4
\end{vmatrix} = 2 \cdot 4 - m \cdot m = 8 - m^2
\]

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, yêu cầu:

\[
D \neq 0
\]

Tức là:

\[
8 - m^2 \neq 0
\]

Giải bất phương trình này:

1. \( 8 - m^2 > 0 \) dẫn đến \( m^2 < 8 \)
2. Từ đó, ta có \( -\sqrt{8} < m < \sqrt{8} \)

Kết luận: \( m \) phải nằm trong khoảng \( (-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}) \).