Cho ΔABC (AB

Để chứng minh các điều đã nêu trong bài toán, ta sẽ thực hiện từng bước một:

### a) Chứng minh \( \Delta AMD = \Delta DMC \)

- **Sử dụng tính chất trung điểm**: Điểm \( M \) là trung điểm của \( BC \) nên có \( MB = MC \).
- **Đối xứng qua \( M \)**: Vì \( D \) nằm trên tia đối của \( MA \) và \( MD = MA \), ta có \( MD = MA \).
- **Góc**: \( \angle AMD = \angle DMC \) (hai góc này đều bằng nhau vì \( D \) đối xứng với \( A \) qua \( M \)).

=> Từ đó, theo tiêu chí \( góc - cạnh - góc \) (G-C-G), ta có \( \Delta AMD = \Delta DMC \).

### b) Chứng minh \( \Delta AIM = \Delta DKM \)

- **Vẽ các đường vuông góc**: \( AI \) vuông góc với \( BC \), \( DK \) vuông góc với \( DC \), và \( IK \) thuộc \( BC \).
- **Góc vuông và cạnh chung**: Ta có \( AI \) và \( DK \) đều vuông góc, và \( IM = KM \) (do \( M \) là trung điểm của \( BC \)).

=> Từ đó, theo tiêu chí \( cạnh - góc - cạnh \) (C-G-C), ta có \( \Delta AIM = \Delta DKM \).

### c) Chứng minh \( AC = BD \) và \( AC \parallel BD \)

- **Cạnh tương ứng**: Từ hai tam giác \( \Delta AMD \) và \( \Delta DMC \), ta có

\[ AC = BD \]

- **Tính song song**: Do hai tam giác \( \Delta AIM \) và \( \Delta DKM \) có các góc tương ứng bằng nhau, ta có \( AC \parallel BD \).

### d) Chứng minh \( M \) là trung điểm của \( HN \)

- **Tính chất trung điểm**: Gọi \( H \) là trung điểm của \( AC \) và \( N \) là trung điểm của \( BD \).
- **Căn cứ vào vị trí các điểm**: Vì \( AC \parallel BD \) và các đoạn thẳng cắt nhau ở trung điểm nên \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng nối giữa \( H \) và \( N \).

=> Như vậy, \( M \) là trung điểm của \( HN \).

Kết luận: Ta đã chứng minh được các điều cần chứng minh trong bài toán.