Chứng minh rằng sin với góc hơn \( \alpha < 45^\circ \) Tạo a) \( \sin(45^\circ - \lambda) = \cos(45^\circ + \lambda) \) b) \( \cos(45^\circ - \lambda) = \sin(45^\circ + \lambda) \) 2) Không dùng máy tính. Hãy tính \( \sin^2 25^\circ + \sin^2 35^\circ + \sin^2 45^\circ + \sin^2 55^\circ + \sin^2 65^\circ \) 3) Viết lại biểu thức liên quan \( \lambda \) từ \( \sin^2 \lambda + \cos^2 \lambda = 1 \)

### 1. Chứng minh các đẳng thức

a) Để chứng minh \( \sin(45^\circ - \lambda) = \cos(45^\circ + \lambda) \):

- Sử dụng công thức lượng giác:
\[
\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b
\]
- Thay \( a = 45^\circ \) và \( b = \lambda \):
\[
\sin(45^\circ - \lambda) = \sin 45^\circ \cos \lambda - \cos 45^\circ \sin \lambda = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \lambda - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \lambda
\]
\[
= \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos \lambda - \sin \lambda)
\]

- Sử dụng \( \cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \):
\[
\cos(45^\circ + \lambda) = \cos 45^\circ \cos \lambda - \sin 45^\circ \sin \lambda = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \lambda - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \lambda
\]
Vậy \( \sin(45^\circ - \lambda) = \cos(45^\circ + \lambda) \) được chứng minh.

b) Để chứng minh \( \cos(45^\circ - \lambda) = \sin(45^\circ + \lambda) \):

- Sử dụng công thức lượng giác:
\[
\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b
\]
- Thay \( a = 45^\circ \) và \( b = \lambda \):
\[
\cos(45^\circ - \lambda) = \cos 45^\circ \cos \lambda + \sin 45^\circ \sin \lambda = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \lambda + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \lambda
\]
\[
= \frac{\sqrt{2}}{2} (\cos \lambda + \sin \lambda)
\]

- Sử dụng:
\[
\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b
\]
\[
\sin(45^\circ + \lambda) = \sin 45^\circ \cos \lambda + \cos 45^\circ \sin \lambda = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \lambda + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \lambda
\]
Vậy \( \cos(45^\circ - \lambda) = \sin(45^\circ + \lambda) \) được chứng minh.

### 2. Tính giá trị \( \sin^2 25^\circ + \sin^2 35^\circ + \sin^2 45^\circ + \sin^2 55^\circ + \sin^2 65^\circ \)

- Sử dụng tính chất đối xứng của sin:
\[
\sin(90^\circ - x) = \cos x
\]
Vậy:
\[
\sin^2 55^\circ = \cos^2 35^\circ
\]
\[
\sin^2 65^\circ = \cos^2 25^\circ
\]

Do đó, ta có:
\[
\sin^2 25^\circ + \sin^2 35^\circ + \sin^2 45^\circ + \sin^2 55^\circ + \sin^2 65^\circ = \sin^2 25^\circ + \sin^2 35^\circ + \sin^2 45^\circ + \cos^2 35^\circ + \cos^2 25^\circ
\]

- Theo định lý Pythagore:
\[
\sin^2 35^\circ + \cos^2 35^\circ = 1
\]
\[
\sin^2 25^\circ + \cos^2 25^\circ = 1
\]

- Vậy:
\[
= 1 + 1 + \sin^2 45^\circ = 2 + \frac{1}{2} = 2.5
\]

### 3. Viết lại biểu thức từ \( \sin^2 \lambda + \cos^2 \lambda = 1 \)

- Biểu thức có thể viết lại:
\[
\sin^2 \lambda = 1 - \cos^2 \lambda
\]
và
\[
\cos^2 \lambda = 1 - \sin^2 \lambda
\]

### 4. Khó khăn trong việc biến đổi với các giác cạnh

- Nếu mọi người làm việc với các góc, chẳng hạn như \( 5^\circ \) và \( 15^\circ \), có thể sử dụng các công thức bổ sung cho góc.
- Các đẳng thức liên quan giữa các hàm lượng giác của các góc này có thể tạo ra các phương trình liên kết.

Nếu cần thêm thông tin hoặc làm rõ bất kỳ phần nào, hãy cho tôi biết!