Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành theo từng bước như sau:

### 1. Tính độ dài đường cao \(AH\)
- Theo đề bài, ta có \(HB = 4\) cm và \(HC = 9\) cm.
- Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông \(AHB\) và \(AHC\):
\[
AB^2 = AH^2 + HB^2
\]
\[
AC^2 = AH^2 + HC^2
\]

### 2. Gọi \(D\) là hình chiếu của \(H\) lên \(AB\) và \(E\) là hình chiếu của \(H\) lên \(AC\)
- Từ đó, ta có:
\[
AD^2 + DH^2 = AH^2
\]
\[
AE^2 + EH^2 = AH^2
\]

### 3. Chứng minh \(AD \cdot AB + AE \cdot AC = 2DE\)
- Sử dụng định lý Hình chữ nhật và một số bất đẳng thức để chứng minh yêu cầu.

### 4. Bài 6
- Nếu \(a \geq 3\), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = a + \frac{1}{d}\).
- Sử dụng đạo hàm hoặc bất đẳng thức để giải quyết bài toán này.

Nếu cần hỗ trợ thêm chi tiết cho từng bước, hãy cho tôi biết!