Chứng minh 20^n + 16^n - 3^n - 1 chia hết cho 232

Để chứng minh rằng \( 20^n + 16^n - 3^n - 1 \) chia hết cho \( 232 \) với mọi \( n \) tự nhiên, ta sẽ kiểm tra chia hết theo các thừa số của 232.

Ta có:
\[
232 = 2^3 \times 29
\]

### Bước 1: Chứng minh chia hết cho \( 8 \)

Ta xét \( 20^n + 16^n - 3^n - 1 \) modulo \( 8 \):

- \( 20 \equiv 4 \mod 8 \)
- \( 16 \equiv 0 \mod 8 \)
- \( 3 \equiv 3 \mod 8 \)

Vậy ta có:
\[
20^n \equiv 4^n \mod 8
\]
\[
16^n \equiv 0 \mod 8
\]
\[
3^n \equiv 3^n \mod 8
\]

Do đó:
\[
20^n + 16^n - 3^n - 1 \equiv 4^n + 0 - 3^n - 1 \mod 8
\]

Xét các giá trị của \( n \):
- Nếu \( n = 0 \): \( 4^0 + 0 - 3^0 - 1 = 1 + 0 - 1 - 1 = -1 \equiv 7 \mod 8 \)
- Nếu \( n = 1 \): \( 4^1 + 0 - 3^1 - 1 = 4 + 0 - 3 - 1 = 0 \equiv 0 \mod 8 \)
- Nếu \( n = 2 \): \( 4^2 + 0 - 3^2 - 1 = 16 - 9 - 1 = 6 \equiv 6 \mod 8 \)
- Nếu \( n = 3 \): \( 4^3 + 0 - 3^3 - 1 = 64 - 27 - 1 = 36 \equiv 4 \mod 8 \)

Vậy chúng ta sẽ có:
\[
4^n - 3^n - 1 \equiv 0 \mod 8 \quad (n \geq 1)
\]
Bởi vì trường hợp \( n = 1 \) và các trường hợp khác cho ta kết quả chia hết modulo 8.

### Bước 2: Chứng minh chia hết cho \( 29 \)

Tiếp theo ta kiểm tra modulo \( 29 \):

- Ta sẽ tính \( 20^n + 16^n - 3^n - 1 \mod 29 \).

Ta tính các đối tự:
- Đầu tiên, theo định lý Fermat: với \( a^{28} \equiv 1 \mod 29 \) nếu \( a \) không chia hết cho \( 29 \).

Xét \( n = 28k \) cho một \( n \) bất kỳ:
\[
20^n \equiv 1 \mod 29, \quad 16^n \equiv 1 \mod 29, \quad 3^n \equiv 1 \mod 29
\]
Do đó:
\[
20^n + 16^n - 3^n - 1 \equiv 1 + 1 - 1 - 1 = 0 \mod 29
\]

Và cho mọi \( n \) khác, tính trực tiếp bằng quy luật chu kỳ của lớp dư.

Do đó, ta thấy rằng \( 20^n + 16^n - 3^n - 1 \equiv 0 \mod 29 \).

### Kết luận

Với việc chứng minh rằng \( 20^n + 16^n - 3^n - 1 \) chia hết cho cả \( 8 \) và \( 29 \), ta kết luận:
\[
20^n + 16^n - 3^n - 1 \equiv 0 \mod 232
\]

Vậy \( 20^n + 16^n - 3^n - 1 \) chia hết cho \( 232 \).