Để chứng minh các câu hỏi trên, ta sẽ sử dụng các phép chứng minh toán học cơ bản như tính chất chia hết và một số đặc điểm của số tự nhiên. Dưới đây là các phần chứng minh cho từng mục:

### a. Tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6
Tích ba số tự nhiên liên tiếp là \( n(n + 1)(n + 2) \).

- Trong ba số liên tiếp \( n, n + 1, n + 2 \), ít nhất một trong ba số này phải chia hết cho 2 (vì số chẵn và số lẻ thay phiên nhau).
- Cũng trong ba số đó, ít nhất một số sẽ chia hết cho 3, vì ba số tự nhiên bất kỳ luôn có số chia hết cho 3 (theo nguyên lý chia đều).

Vì vậy, tích \( n(n + 1)(n + 2) \) tích hợp được cả hai yếu tố cần thiết để chia hết cho 6. Do đó, \( n(n + 1)(n + 2) \) chia hết cho 6.

### b. Tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
Tích của hai số chẵn liên tiếp là \( 2n(2n + 2) = 2n \cdot 2(n + 1) = 4n(n + 1) \).

- Số chẵn \( 2n \) đã đảm bảo có ít nhất một thừa số 2 trong nó.
- \( n(n + 1) \) có thể là một số nguyên bất kỳ, trong đó \( n \) và \( n + 1 \) là hai số liên tiếp, nên trong chúng ít nhất một số sẽ là số chẵn, tức là có ít nhất một thừa số 2.

Do đó, \( 4n(n + 1) \) có ít nhất ba thừa số 2, tức là chia hết cho 8.

### c. Tích bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24
Tích bốn số tự nhiên liên tiếp là \( n(n + 1)(n + 2)(n + 3) \).

- Tương tự như trường hợp trên, trong bốn số liên tiếp sẽ có ít nhất một trong số đó chia hết cho 4 (một trong số đó là số chẵn lớn nhất sẽ tác động đến tỉ lệ này) và ít nhất hai số sẽ chia hết cho 2.
- Cũng trong bốn số này, sẽ có ít nhất một số chia hết cho 3.

Tóm lại, số 24 có dạng \( 2^3 \times 3 \) và trong \( n(n + 1)(n + 2)(n + 3) \) có đủ thừa số cho điều kiện này, vì vậy tích này chia hết cho 24.

### d. Tích năm số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120
Tích năm số tự nhiên liên tiếp là \( n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) \).

- Trong năm số này, có ít nhất một số chia hết cho 5.
- Ngoài ra, ít nhất ba số trong đó sẽ là số chẵn (vì có cả số lẻ và số chẵn liên tiếp).
- Số 120 có thể phân tích thành \( 2^3 \times 3 \times 5 \).

Do đó, với điều kiện trên, có đủ thừa số để \( n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) \) chia hết cho 120.

### e. Tích ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 48
Tích ba số chẵn liên tiếp là \( 2n(2n + 2)(2n + 4) = 2n \cdot 2(n + 1) \cdot 2(n + 2) = 8n(n + 1)(n + 2) \).

- Trong ba số \( n, n + 1, n + 2 \), ít nhất một số chia hết cho 3.
- Tổng cộng trong \( 8n(n + 1)(n + 2) \) có ít nhất 3 thừa số 2 và thêm một thừa số 3, do đó nó chia hết cho 48 (\( 48 = 16 \times 3 \)).

Tất cả các phần chứng minh này khẳng định rằng các tích đã nêu chia hết cho các số như yêu cầu.