Để chứng minh các yêu cầu của bài toán, ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành và các điểm trung điểm.

### a) Chứng minh \( BE = DF \) và \( \angle ABE = \angle CDF \)

1. **Chứng minh \( BE = DF \)**:
- Trong hình bình hành \( ABCD \), ta có \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \).
- E là trung điểm của AD, và F là trung điểm của BC.
- Sử dụng tính chất trung điểm, ta có:
\[
BE = \frac{1}{2} BC \quad \text{và} \quad DF = \frac{1}{2} CD.
\]
- Vì \( BC = CD \) trong hình bình hành, suy ra \( BE = DF \).

2. **Chứng minh \( \angle ABE = \angle CDF \)**:
- Vòng tròn quanh điểm B và điểm D tạo ra 2 tam giác đồng dạng \( ABE \) và \( CDF \).
- Vì \( AB \parallel CD \) nên các góc tạo bởi các đường chéo sẽ bằng nhau.
- Do đó, \( \angle ABE = \angle CDF \).

### b) Chứng minh \( AF \parallel CE \) và \( AF = CE \)

1. **Chứng minh \( AF \parallel CE \)**:
- Lập hai tam giác \( \triangle AFE \) và \( \triangle CEF \).
- Cũng tương tự, sử dụng tính chất trung điểm, ta thấy rằng do \( AD \parallel BC \), nên chiều dài các đoạn thẳng và các góc sẽ cân bằng.
- Vì vậy, \( AF \parallel CE \).

2. **Chứng minh \( AF = CE \)**:
- Khi đã chứng minh rằng hai tam giác \( \triangle AFE \) và \( \triangle CEF \) đồng dạng, ta có \( AF = CE \) do chúng là các đoạn thẳng nối từ trung điểm.

Kết luận, các yêu cầu của bài toán đã được chứng minh.