Để so sánh độ dài hai cạnh BM và BC của tam giác ABC vuông tại A, với M nằm giữa A và C, ta có thể thực hiện các bước như sau:

1. **Gọi các độ dài**: Gọi độ dài AC = b, AB = a, và BC = c. Theo định lý Pythagore, ta có:
\[
c^2 = a^2 + b^2
\]

2. **Xác định vị trí của M**: M nằm giữa A và C, do đó, ta có độ dài AM = x (với 0 < x < b). Vậy độ dài MC = b - x.

3. **Tính độ dài BM**: Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác BMA:
\[
BM^2 = AB^2 + AM^2 = a^2 + x^2
\]
Vậy:
\[
BM = \sqrt{a^2 + x^2}
\]

4. **Tính độ dài BC**: Từ vị trí của B, ta biết:
\[
BC = c
\]

5. **So sánh BM và BC**: Để so sánh độ dài BM và BC, ta sẽ so sánh \(\sqrt{a^2 + x^2}\) với c.
- Ta có \(c^2 = a^2 + b^2\), từ đó suy ra:
\[
c^2 = a^2 + (x + (b - x))^2 \geq a^2 + x^2
\]
Do đó, \(\sqrt{a^2 + x^2} < c\).

Kết luận: Ta có \(BM < BC\).