Để giải bài toán này, chúng ta cần tính giá trị của các biểu thức trong khoảng và sau đó xác định số nguyên nào phù hợp.

1. **Tính giá trị cho từng biểu thức**:

- \( \frac{1}{2} \)
- \( \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) \)

Tính \( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \):

\[
\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}
\]

Vậy, \( \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{2} \times \frac{7}{12} = \frac{7}{24} \).

2. **Tính tiếp các giá trị cạnh khác**:

- \( 1 < \frac{1}{48} \left( \frac{1}{16} + \frac{1}{6} \right) \)

Tính \( \frac{1}{16} + \frac{1}{6} \):

LCM của 16 và 6 là 48:

\[
\frac{1}{16} = \frac{3}{48}, \quad \frac{1}{6} = \frac{8}{48}
\]

Do đó,

\[
\frac{1}{16} + \frac{1}{6} = \frac{3}{48} + \frac{8}{48} = \frac{11}{48}
\]

Vậy,

\[
\frac{1}{48} \left( \frac{1}{16} + \frac{1}{6} \right) = \frac{11}{48^2} = \frac{11}{2304}
\]

3. **Đặt các giá trị vào khoảng**:

Chúng ta có:

\[
\frac{7}{24} < n < \frac{11}{2304}
\]

4. **Tìm số nguyên thỏa mãn**:

Tính các giá trị xấp xỉ để tìm số nguyên:

- \( \frac{7}{24} \approx 0.29167 \)
- \( \frac{11}{2304} \approx 0.00478 \)

Do đó, không có số nguyên nào nằm trong khoảng giữa \( \frac{7}{24} \) và \( \frac{11}{2304} \).

### Kết luận:

**Không có số nguyên nào thỏa mãn yêu cầu trong khoảng đã cho.**