Để chứng minh rằng \( S = \frac{3}{4} + \frac{8}{9} + \frac{15}{16} + \frac{24}{25} + \ldots + \frac{9999}{10000} \) không phải là một số nguyên, trước tiên ta sẽ quan sát các phân số trong chuỗi.

Mỗi phần tử tổng hợp có dạng:

\[
\frac{n(n+1)}{(n+1)^2} = \frac{n^2 + n}{n^2 + 2n + 1} = 1 - \frac{1}{(n+1)^2}
\]

Nên ta có thể viết lại \( S \) như sau:

\[
S = \sum_{n=2}^{10000} \left( 1 - \frac{1}{(n+1)^2} \right)
\]

Bây giờ, ta có thể tách tổng này ra thành hai phần:

\[
S = \sum_{n=2}^{10000} 1 - \sum_{n=2}^{10000} \frac{1}{(n+1)^2}
\]

Tổng số hạng trong phần đầu tiên là \( 9999 \) (vì \( n \) chạy từ 2 đến 10000).

Vậy ta có:

\[
S = 9999 - \sum_{n=2}^{10000} \frac{1}{(n+1)^2}
\]

Lưu ý rằng \( \sum_{n=2}^{10000} \frac{1}{(n+1)^2} = \sum_{m=3}^{10001} \frac{1}{m^2} \). Tổng này là một tổng hữu hạn và có giá trị là số thực dương.

Chúng ta sẽ xem xét \( S \) có thể là số nguyên hoặc không. Ta sẽ tính phần tổng \( \sum_{m=3}^{10001} \frac{1}{m^2} \).

Giả sử \( \sum_{m=3}^{10001} \frac{1}{m^2} \) là một giá trị nhỏ, rõ ràng \( \sum_{m=3}^\infty \frac{1}{m^2} \) hội tụ, trong khi khi \( m \) lớn thì các hạng tử này lại rất nhỏ. Khi tổng hợp từ \( m=3 \) đến \( m=10001 \) tổng sẽ là một số dương, cho nên \( S \) là số không nguyên.

Vì vậy, \( S \) không phải là số nguyên và viết lại dưới dạng sau:

\[
S = 9999 - \sum_{m=3}^{10001} \frac{1}{m^2}
\]

Kết luận, \( S \) không phải là số nguyên vì nó là một số dương trừ đi một số dương nhỏ hơn \( 9999 \).