Để chứng minh rằng \( A = \sum_{n=2}^{100} \frac{1}{n^2} \) không phải là số nguyên, chúng ta có thể tính giá trị của \( A \) và phân tích nó.

Trước hết, chúng ta biết rằng tổng của các số hạng dạng \( \frac{1}{n^2} \) cho \( n \) từ 2 đến 100 là một tổng hữu hạn, và tổng này có thể được tính như sau:

\[
A = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \ldots + \frac{1}{100^2}
\]

Bây giờ, thay các số hạng từ 2 đến 100 vào, chúng ta sẽ có:

\[
A \approx 0.25 + 0.1111 + 0.0625 + \ldots + 0.01
\]

Để đưa ra một cách tiếp cận tốt hơn, chúng ta có thể tìm giá trị gần đúng của tổng \( A \) bằng cách sử dụng máy tính. Tuy nhiên, thay vào đó, chúng ta có thể phân tích \( A \) theo lý thuyết của các số nguyên phân số.

Lưu ý rằng mỗi số hạng \( \frac{1}{n^2} \) không phải lúc nào cũng cho ra đồng số chia có thể tạo thành số nguyên khi cộng dồn lại. Mỗi số hạng này đều có mẫu số khác nhau, và khi tính tổng, mẫu số chung sẽ là bội chung nhỏ nhất của các số \( n^2 \).

Mẫu số chung này sẽ là \( LCM(2^2, 3^2, ..., 100^2) \). Như vậy, \( A \) có thể biểu diễn dưới dạng một phân số:

\[
A = \frac{P}{Q}
\]

Trong đó \( P \) là tổng bậc cao của tử số và \( Q \) là \( LCM(2^2, 3^2, ..., 100^2) \).

Để chứng minh rằng \( A \) không phải là số nguyên, chúng ta có thể xem xét mẫu số \( Q \). Mẫu số \( Q \) rất lớn, và tử số \( P \) không thể chia hết cho \( Q \), vì trong quá trình tính tổng, tử số của các \( \frac{1}{n^2} \) sẽ không tạo thành nhiều nhóm số chia hết cho \( Q \).

Cuối cùng, để hoàn thiện các lập luận về số học, chúng ta có thể khẳng định rằng \( A \) không phải là một số nguyên dựa trên việc tính toán mẫu và tử, và thực tế rằng tổng này không sinh ra những số nguyên đơn giản từ cách cộng dồn các số hạng.

Do đó, \( A \) không phải số nguyên.