Để chứng minh rằng BD là tia phân giác của góc EBC, ta tiến hành theo các bước sau:

1. **Xác định các hình học liên quan**:
- Gọi O1 là tâm đường tròn đường kính AB, O2 là tâm đường tròn đường kính BC.
- Cực tiểu của đoạn thẳng AB là A, và cực tiểu của đoạn thẳng BC là C.
- D là điểm tiếp điểm của tiếp tuyến AD với đường tròn đường kính BC.
- Chúng ta có điểm E là giao điểm của tiếp tuyến AD và đường tròn đường kính AB.

2. **Tính chất của tiếp tuyến**:
- AD là tiếp tuyến với đường tròn đường kính BC tại điểm D, điều này có nghĩa là:
- KD vuông góc với OD (khi K là điểm trên đường thẳng AB).
- Kết quả này suy ra rằng: góc ADB = 90° (do AD vuông góc với đường kính BC).

3. **Xét tam giác EBD**:
- Do Đ là tiếp điểm, nên OD ⊥ AD.
- Chúng ta có BD là bài tạo ra từ ngã ba E và B, cho nên chúng ta có thể so sánh góc ∠EBD và ∠CDB với mục tiêu chứng minh BDC là tia phân giác của góc EBC.

4. **Chứng minh các góc**:
- Ta có: ∠EBD = ∠ADB (các góc đối diện với cạnh nhau).
- Lại có: ∠CDB = ∠BDC (góc giữa hai tiếp tuyến).
- Khi đó, do định nghĩa về cạnh phân giác, ta có ∠EBD = ∠CDB.

5. **Kết luận**:
- Theo định nghĩa, BD là tia phân giác của góc EBC khi mà ∠EBD = ∠CDB.
- Dựa trên phân tích trên, ta có thể kết luận rằng BD chính là tia phân giác của góc EBC.

Vậy BD là tia phân giác của góc EBC như yêu cầu.