Tìm tập xác định của các hàm số sau:

Để tìm tập xác định của các hàm số được cho, ta cần xem xét các điều kiện mà các biểu thức trong mỗi hàm phải thỏa mãn.

1. **\( y = \sin \left( \frac{1}{x-2} \right) \)**
* Tập xác định: \( x \neq 2 \)
=> Tập xác định: \( \mathbb{R} \setminus \{ 2 \} \)

2. **\( y = \cos \sqrt{x-1} \)**
* Tập xác định: \( x - 1 \geq 0 \)
=> \( x \geq 1 \)
=> Tập xác định: \( [1, +\infty) \)

3. **\( y = \cos |x-1| \)**
* Hàm cos luôn xác định với mọi \( x \)
=> Tập xác định: \( \mathbb{R} \)

4. **\( y = \sin \left( x - \frac{\pi}{3} \right) \)**
* Hàm sin luôn xác định với mọi \( x \)
=> Tập xác định: \( \mathbb{R} \)

5. **\( y = \sin 3x \)**
* Hàm sin luôn xác định với mọi \( x \)
=> Tập xác định: \( \mathbb{R} \)

6. **\( y = \cos \left( 3x + \frac{\pi}{3} \right) \)**
* Hàm cos luôn xác định với mọi \( x \)
=> Tập xác định: \( \mathbb{R} \)

7. **\( y = \sin \left( \frac{3x+1}{x^2-1} \right) \)**
* Tập xác định: \( x^2 - 1 \neq 0 \) (tức là \( x \neq 1 \) và \( x \neq -1 \))
=> Tập xác định: \( \mathbb{R} \setminus \{ 1, -1 \} \)

8. **\( y = \sqrt{3x} \)**
* Tập xác định: \( 3x \geq 0 \)
=> \( x \geq 0 \)
=> Tập xác định: \( [0, +\infty) \)

9. **\( y = \frac{\sin x}{x+1} \)**
* Hàm sin luôn xác định, nhưng mẫu phải khác 0
=> \( x + 1 \neq 0 \) (tức là \( x \neq -1 \))
=> Tập xác định: \( \mathbb{R} \setminus \{ -1 \} \)

10. **\( y = \frac{\cos x}{x+1} \)**
* Hàm cos luôn xác định, nhưng mẫu phải khác 0
=> \( x + 1 \neq 0 \) (tức là \( x \neq -1 \))
=> Tập xác định: \( \mathbb{R} \setminus \{ -1 \} \)

11. **\( y = \frac{x^2 + 1}{x \sin x} \)**
* Mẫu phải khác 0
=> \( x \sin x \neq 0 \) (tức là \( x \neq 0 \) và \( \sin x \neq 0 \))
=> \( x \neq 0, n\pi \) với \( n \in \mathbb{Z} \)
=> Tập xác định: \( \mathbb{R} \setminus \{ n\pi | n \in \mathbb{Z} \} \)

12. **\( y = \frac{\sin x}{\cos (x - \pi)} \)**
* Hàm sin luôn xác định, nhưng mẫu phải khác 0
=> \( \cos (x - \pi) \neq 0 \) (tức là \( x - \pi \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \), với \( k \in \mathbb{Z} \))
=> Tập xác định: \( \mathbb{R} \setminus \{ \frac{3\pi}{2} + k\pi | k \in \mathbb{Z} \} \)

Tóm lại, các tập xác định được tìm như trên.