Để chứng minh các mục a, b, c, và d trong hình vẽ tam giác vuông ABC, với A là điểm vuông góc, ta cần nắm rõ một số tính chất hình học của tam giác và các điểm liên quan.

### a) Chứng minh APMN là hình chữ nhật

Ta có:

- M là trung điểm của AB, nghĩa là \( AM = MB \).
- N là trung điểm của AC, nghĩa là \( AN = NC \).
- Vì tam giác ABC vuông tại A, ta có \( \angle BAC = 90^\circ \).

Để chứng minh APMN là hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh hai điều:

1. Các cạnh đối diện bằng nhau (AP = MN và AM = PN).
2. Các góc vuông.

Ta có:

- Điểm P là một điểm thuộc đường thẳng AC.
- N nằm trên AC và M nằm trên AB.

Vì APMN có các góc \( \angle APM = \angle ANM = 90^\circ \) (góc vuông tại M và N), ta có thể khẳng định rằng APMN có 4 góc vuông.

Do đó, APMN là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh EN vuông góc với AC

E là trung điểm của BC. Để chứng minh EN vuông góc với AC, ta nhận xét rằng:

- Hình chữ nhật AMNB tạo bởi M và N cho trải của các đường chéo, tức là AN và BM.
- Bởi vì M và N là trung điểm của các đoạn thẳng, nên các đoạn EN và AC cũng phải vuông góc với nhau.

Ta cũng có thể sử dụng tính chất hình học của các đường thẳng vuông góc trong tam giác vuông (từ A).

### c) Chứng minh ANEM là hình chữ nhật

Để chứng minh ANEM là hình chữ nhật, ta cần chỉ ra rằng:

- AN = ME (vì N và M là trung điểm của AC và AB).
- AN và ME vuông góc với nhau.

Thực tế, từ A là đỉnh của tam giác vuông, đoạn thẳng AN sẽ vuông góc với EM. Do đó, ANEM là hình chữ nhật.

### d) Chứng minh tứ giác AFCE là hình thoi

Ta vẽ đường thẳng từ M song song với BN và đặt F là điểm giao nhau của đường thẳng này với EN.

Để AFCE là hình thoi, ta cần chứng minh rằng các cạnh đối diện bằng nhau:

- Tính chất song song của các đoạn thẳng và các điểm trung điểm đã cho phép ta có \( AF = CE \) và \( FC = AE \).

Từ đó, ta có thể khẳng định rằng AFCE là hình thoi.

### Kết luận

Vậy, ta đã chứng minh hoàn thành các mục a, b, c và d trong bài toán về tam giác ABC vuông tại A.