Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O). Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A, B đến đường thẳng d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB

Để chứng minh các mệnh đề trong bài tập này, ta sẽ sử dụng các tính chất hình học và định lý liên quan đến đường tròn.

1. **Chứng minh CE = CF**:
Xét tam giác CEA và CFB, cả hai đều có cạnh CA = CB (do C thuộc nửa đường tròn), và CE vuông góc với AB tại E, CF vuông góc với AB tại F. Vì d là tiếp tuyến tại C, nên CE và CF đều là độ dài của đoạn vuông góc từ C đến đường tròn, do đó CE = CF.

2. **Chứng minh AC là tia phân giác của BAE**:
Ta có tam giác ABE và H là chân đường vuông góc từ C đến AB. Bằng định lý về tiếp tuyến, góc ACB = góc CAE (vì CE là đường vuông góc). Từ đó, ta có 2 góc này bằng nhau, suy ra AC là tia phân giác.

3. **Chứng minh CH² = AE · BF**:
Theo định lý đường vuông góc từ điểm bên ngoài đến đường tròn, ta có CH² = AE · BF (vì AE và BF là các đoạn kéo dài từ điểm tiếp xúc đến các điểm A và B).

4. **Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính EF**:
Khi E và F là chân vuông góc từ A và B đến đường thẳng d, và d là tiếp tuyến của đường tròn tại C. Do tính chất đường tiếp tuyến, ta có AB vuông góc với đoạn thẳng EF tại H (H là điểm chân đường vuông góc từ C đến AB). Do đó, AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính EF.

Tóm lại, qua các chứng minh trên, ta có thể xác định rằng các mệnh đề đã được đưa ra là đúng.