Để chứng minh rằng điểm M là trung điểm của đoạn CD trong hình chữ nhật ABCD, ta bắt đầu với các thông tin đã cho.

1. **Chỉ ra các tính chất của hình chữ nhật**:
- Trong hình chữ nhật ABCD, các cạnh đối diện là bằng nhau và song song (AB // CD và AD // BC).
- Các đường chéo AC và BD cắt nhau tại O và chia mỗi đường chéo thành hai đoạn bằng nhau: AO = OC và BO = OD.

2. **Công thức tọa độ**:
Giả sử tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là:
- A(0, 0)
- B(a, 0)
- C(a, b)
- D(0, b)

Khi đó, tọa độ các điểm trung điểm của các đoạn:
- O là điểm trung điểm của cả đoạn AC và BD. Tọa độ O sẽ là:
\[
O = \left( \frac{0 + a}{2}, \frac{0 + b}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right)
\]

3. **Điểm M**:
- Ta biết rằng M là điểm trên đường thẳng CD và OM vuông góc với CD. Điều này có nghĩa là OM là đường thẳng đứng.
- Do đó, M có tọa độ dạng (x_M, b), với x_M là một giá trị nào đó trong khoảng từ 0 đến a.

4. **Áp dụng tính chất vuông góc**:
- Vì OM vuông góc với CD, ta có thể coi OM là đường thẳng đứng từ O đến CD.
- Kết quả, khoảng cách từ O đến M (hệ trục nằm ngang, theo y) sẽ bằng một nửa chiều dài của đoạn CD (từ D đến C).

5. **Chứng minh M là trung điểm của CD**:
- Đoạn CD có chiều dài bằng a (từ D(0, b) đến C(a, b)).
- Trung điểm của CD sẽ có tọa độ:
\[
M_{trung\_điểm} = \left( \frac{0 + a}{2}, b \right) = \left( \frac{a}{2}, b \right)
\]

- Như vậy, M có cùng tọa độ \(\left( \frac{a}{2}, b \right)\) với M_{trung\_điểm}. Do đó, ta kết luận rằng:
\[
M = M_{trung\_điểm}
\]
cho thấy M chính là trung điểm của đoạn CD.

Từ các lập luận trên, ta đã chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn CD trong hình chữ nhật ABCD.