Gọi số sách ở giá thứ nhất là \( x \) cuốn và số sách ở giá thứ hai là \( y \) cuốn. Theo đề bài, ta có các phương trình sau:

1. Tổng số sách:
\[
x + y = 450
\]

2. Khi chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai, số sách ở giá thứ hai sẽ bằng \(\frac{4}{5}\) số sách ở giá thứ nhất. Vì vậy ta có:
\[
y + 50 = \frac{4}{5}(x - 50)
\]

Bây giờ ta sẽ giải hệ phương trình này.

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn \( y \) bằng \( x \):
\[
y = 450 - x
\]

Thay \( y \) vào phương trình (2):
\[
(450 - x) + 50 = \frac{4}{5}(x - 50)
\]

Giải phương trình trên:
\[
500 - x = \frac{4}{5}x - 40
\]

Nhân cả hai vế với 5 để bỏ mẫu:
\[
2500 - 5x = 4x - 200
\]

Thêm \( 5x \) vào cả hai bên:
\[
2500 = 9x - 200
\]

Cộng 200 vào cả hai bên:
\[
2700 = 9x
\]

Chia cho 9:
\[
x = 300
\]

Vậy \( y \) sẽ là:
\[
y = 450 - x = 450 - 300 = 150
\]

Kết quả là:
- Số sách ở giá thứ nhất là \( 300 \) cuốn.
- Số sách ở giá thứ hai là \( 150 \) cuốn.

Kiểm tra:
Sau khi chuyển \( 50 \) cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai:
- Số sách ở giá thứ nhất sẽ là \( 300 - 50 = 250 \).
- Số sách ở giá thứ hai sẽ là \( 150 + 50 = 200 \).

Thực hiện kiểm tra tỷ lệ:
\[
200 = \frac{4}{5} \times 250
\]
\[
200 = 200
\]
Điều này là đúng, do đó số sách ban đầu ở giá thứ nhất là \( 300 \) cuốn và ở giá thứ hai là \( 150 \) cuốn là chính xác.