Để tính giá trị của các biểu thức trong bài tập 4.57:

a) \( A = 4 - \sin^2 45^\circ + 2 \cos^2 60^\circ - 3 \cot 45^\circ \)

- Giá trị của \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), do đó \(\sin^2 45^\circ = \frac{1}{2}\).
- Giá trị của \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\), do đó \(\cos^2 60^\circ = \frac{1}{4}\).
- Giá trị của \(\cot 45^\circ = 1\).

Thay vào biểu thức:

\[
A = 4 - \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} - 3 \cdot 1
\]

\[
= 4 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 3 = 4 - 3 = 1
\]

b) \( B = \tan 45^\circ \cdot \cos 30^\circ \cdot \cot 30^\circ \)

- Giá trị của \(\tan 45^\circ = 1\),
- Giá trị của \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\),
- Giá trị của \(\cot 30^\circ = \frac{1}{\tan 30^\circ} = \sqrt{3}\).

Thay vào biểu thức:

\[
B = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{2}
\]

c) \( C = \sin 15^\circ \cdot \sin 75^\circ - \cos 15^\circ \cdot \cos 75^\circ + \sin 30^\circ \)

- Giá trị của \(\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\).
- Giá trị của \(\sin 75^\circ = \sin(90^\circ - 15^\circ) = \cos 15^\circ\).
- Giá trị của \(\cos 75^\circ = \sin 15^\circ\).
- Giá trị của \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\).

Sử dụng công thức \( \sin A \cdot \cos B - \cos A \cdot \sin B = \sin(A - B) \):

\[
C = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \cos 15^\circ - \cos 15^\circ \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
\]

Đến bài tập 4.58, trong tam giác vuông \(OPQ\) tại \(O\) với \( \overline{OP} = 39 \), \( \overline{PQ} = 10 \), bạn có thể sử dụng định luật Pythagore để tính độ dài cạnh còn lại.

\[
\overline{OQ} = \sqrt{\overline{OP}^2 + \overline{PQ}^2} = \sqrt{39^2 + 10^2} = \sqrt{1521 + 100} = \sqrt{1621} \approx 40.31
\]

Tóm lại:
- \( A = 1 \)
- \( B = \frac{3}{2} \)
- \( C = \frac{1}{2} \)
- \( OQ \approx 40.31 \) cm.