Gọi quãng đường AB là \( x \) (km).

Theo đề bài, người đó dự định đi hết quãng đường AB với vận tốc 10 km/h.

Thời gian dự kiến đi toàn bộ quãng đường là:

\[
t = \frac{x}{10} \quad \text{(giờ)}
\]

Khi người đó đi được một nửa quãng đường, tức là đi được \( \frac{x}{2} \) km, thời gian đã đi là:

\[
t_1 = \frac{\frac{x}{2}}{10} = \frac{x}{20} \quad \text{(giờ)}
\]

Sau đó, người đó nghỉ 30 phút, tức là 0,5 giờ, nên tổng thời gian cho đến lúc người đó bắt đầu đi tiếp là:

\[
t_{total} = t_1 + 0.5 = \frac{x}{20} + 0.5 \quad \text{(giờ)}
\]

Thời gian còn lại để đến đích kịp thời gian quy định là:

\[
t_{remaining} = t - t_{total}
\]

Người đó phải tăng tốc độ thành 15 km/h trên quãng đường còn lại \( \frac{x}{2} \) km. Ta có thời gian đi quãng đường còn lại:

\[
t_2 = \frac{\frac{x}{2}}{15} = \frac{x}{30} \quad \text{(giờ)}
\]

Vì người đó cần phải dành tất cả thời gian còn lại để đến đích kịp thời gian quy định, ta có phương trình:

\[
t_{total} + t_2 = t
\]

Thay \( t_{total} \) và \( t_2 \) vào trong phương trình:

\[
\left(\frac{x}{20} + 0.5\right) + \frac{x}{30} = \frac{x}{10}
\]

Giải phương trình này:

1. Thống nhất mẫu số. Mẫu số chung của \( 20, 30 \) và \( 10 \) là \( 60 \).

Chuyển đổi từng hạng tử sang mẫu số 60:

\[
\frac{3x}{60} + 0.5 + \frac{2x}{60} = \frac{6x}{60}
\]

Biến đổi 0.5 sang thành phần với mẫu số 60:

\[
0.5 = \frac{30}{60}
\]

Thay vào phương trình:

\[
\frac{3x}{60} + \frac{30}{60} + \frac{2x}{60} = \frac{6x}{60}
\]

Gộp các hạng tử:

\[
\frac{5x + 30}{60} = \frac{6x}{60}
\]

Bỏ chung mẫu số:

\[
5x + 30 = 6x
\]

Sắp xếp lại:

\[
30 = 6x - 5x \Rightarrow 30 = x
\]

Vậy quãng đường \( AB \) là \( \boxed{30} \) km.