Để chứng minh 4 điểm A, B, H, K nằm trên cùng một đường tròn, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu.

**a)** Chứng minh 4 điểm A, B, H, K nằm trên cùng một đường tròn:

Tam giác ABC cân tại A, tức là AB = AC. Đường cao AH từ A hạ xuống cạnh BC. Vậy AH vuông góc với BC.

Gọi K là điểm trên cạnh BC, BK là đường cao hạ từ B đến cạnh AC. Bởi vì tam giác ABC cân và đường cao BK cũng vuông góc với AC, chúng ta có góc BAH = góc KAC (từ phương pháp đường cao với góc vuông và đồng dạng).

Ta có:

\[
\angle BAH + \angle BKA = 90^\circ \quad \text{(do AH vuông góc với BC)}
\]
\[
\angle KAC + \angle KBA = 90^\circ \quad \text{(do BK vuông góc với AC)}
\]

Có thể thấy rằng:

\[
\angle BAH + \angle KAC = 90^\circ
\]

Từ điều này, ta có:

\[
\angle BAH = \angle KAC \text{ và } \angle KBA = \angle KAC
\]

Do vậy, ta có góc BAH + góc KAC = 180 độ, suy ra 4 điểm A, B, H, K nằm trên một đường tròn (theo lý thuyết cùng một cung).

**b)** Kẻ dây KF vuông góc với AB tại I. Biết AK = 4 cm, AC = 5 cm. Tính độ dài IA:

Ta có tam giác AKC vuông tại K. Áp dụng định lý Pythagoras:

\[
AC^2 = AK^2 + KC^2
\]

Từ giá trị cho trước:

\[
5^2 = 4^2 + KC^2
\]
\[
25 = 16 + KC^2
\]
\[
KC^2 = 25 - 16 = 9 \Longrightarrow KC = 3 \, cm
\]

Giờ kẻ đường vuông góc từ K đến AB tại I. Tam giác AKI cũng sẽ vuông tại I (phải chứng minh). Khi này, ta có thể sử dụng các tính chất của tam giác vuông.

Tổng quát hơn, xét hệ thức giữa các cạnh:

Trong tam giác AKI (vuông tại I):

\[
AI^2 + IK^2 = AK^2
\]

Tuy nhiên, cần thêm thông tin về IK từ mối liên hệ với AC để tính chính xác giá trị IA.

**c)** Chứng minh AFK cân:

Trong tam giác AKC vuông, nếu AF = FK, ta có thể sử dụng các yếu tố diện tích và độ dài. Thật vậy, từ góc AHK = góc AKB, AFK cũng sẽ tạo thành một mối quan hệ tương tự như tam giác BKC.

Có thể xét rằng:

\[
AF = FK \text{ nếu như } K \text{ là trung điểm của BC.}
\]

Cách thức chứng minh thêm là sử dụng tính chất đồng dạng để chỉ ra rằng AFK sẽ cân.

**d)** BF cắt AH tại E. Chứng minh góc FAK = góc KBE:

Góc FAK được tính từ phần tam giác AFK, góc KBE được tính từ phần tam giác ABK. Vì cả hai đều cấu tạo từ các dây cung trong cùng một đường tròn, từ đó ta kết luận rằng góc FAK = góc KBE nhờ tính chất góc nội tiếp.

Tóm lại, các chứng minh đều dựa vào các tính chất của tam giác và hình học phẳng để kết luận về sự đồng quy và xác định đường tròn.