Tim các cặp số nguyên x; y thỏa mãn

Để giải phương trình \(|x - 2y - 1| + 5 = \frac{10}{|y - 4|} + 2\), trước tiên ta sẽ đơn giản hóa phương trình này.

Bắt đầu bằng cách chuyển 5 sang vế bên phải:

\[
|x - 2y - 1| = \frac{10}{|y - 4|} + 2 - 5
\]

\[
|x - 2y - 1| = \frac{10}{|y - 4|} - 3
\]

Tiếp theo, ta sẽ tìm điều kiện để vế phải của phương trình không âm, vì giá trị tuyệt đối luôn không âm. Điều này sẽ dẫn đến:

\[
\frac{10}{|y - 4|} - 3 \geq 0
\]

\[
\frac{10}{|y - 4|} \geq 3
\]

\[
10 \geq 3|y - 4|
\]

\[
\frac{10}{3} \geq |y - 4|
\]

Điều này có nghĩa là:

\[
- \frac{10}{3} \leq y - 4 \leq \frac{10}{3}
\]

Từ đó, ta có:

\[
4 - \frac{10}{3} \leq y \leq 4 + \frac{10}{3}
\]

\[
\frac{12}{3} - \frac{10}{3} \leq y \leq \frac{12}{3} + \frac{10}{3}
\]

\[
\frac{2}{3} \leq y \leq \frac{22}{3}
\]

Giá trị của \(y\) phải là một số nguyên, do đó:

\[
1 \leq y \leq 7
\]

Bây giờ, ta sẽ xem xét các giá trị nguyên của \(y\) trong khoảng \(1\) đến \(7\).

1. **Khi \(y = 1\):**

\[
|x - 2(1) - 1| = \frac{10}{|1 - 4|} - 3
\]
\[
|x - 3| = \frac{10}{3} - 3 = \frac{10}{3} - \frac{9}{3} = \frac{1}{3}
\]
\[
x - 3 = \frac{1}{3} \quad \text{hoặc} \quad x - 3 = -\frac{1}{3}
\]
\[
x = \frac{10}{3} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{8}{3} \quad \text{(không phải số nguyên)}
\]

2. **Khi \(y = 2\):**

\[
|x - 2(2) - 1| = \frac{10}{|2 - 4|} - 3
\]
\[
|x - 5| = \frac{10}{2} - 3 = 5 - 3 = 2
\]
\[
x - 5 = 2 \quad \text{hoặc} \quad x - 5 = -2
\]
\[
x = 7 \quad \text{hoặc} \quad x = 3 \quad \text{(có 2 giá trị)}
\]

3. **Khi \(y = 3\):**

\[
|x - 2(3) - 1| = \frac{10}{|3 - 4|} - 3
\]
\[
|x - 7| = 10 - 3 = 7
\]
\[
x - 7 = 7 \quad \text{hoặc} \quad x - 7 = -7
\]
\[
x = 14 \quad \text{hoặc} \quad x = 0 \quad \text{(có 2 giá trị)}
\]

4. **Khi \(y = 4\):**

\[
|x - 2(4) - 1| = \frac{10}{|4 - 4|} - 3
\]
Vế phải phân số không xác định. Không có giá trị nào trong trường hợp này.

5. **Khi \(y = 5\):**

\[
|x - 2(5) - 1| = \frac{10}{|5 - 4|} - 3
\]
\[
|x - 11| = 10 - 3 = 7
\]
\[
x - 11 = 7 \quad \text{hoặc} \quad x - 11 = -7
\]
\[
x = 18 \quad \text{hoặc} \quad x = 4 \quad \text{(có 2 giá trị)}
\]

6. **Khi \(y = 6\):**

\[
|x - 2(6) - 1| = \frac{10}{|6 - 4|} - 3
\]
\[
|x - 13| = 5 - 3 = 2
\]
\[
x - 13 = 2 \quad \text{hoặc} \quad x - 13 = -2
\]
\[
x = 15 \quad \text{hoặc} \quad x = 11 \quad \text{(có 2 giá trị)}
\]

7. **Khi \(y = 7\):**

\[
|x - 2(7) - 1| = \frac{10}{|7 - 4|} - 3
\]
\[
|x - 15| = \frac{10}{3} - 3 = \frac{10}{3} - \frac{9}{3} = \frac{1}{3}
\]
\[
x - 15 = \frac{1}{3} \quad \text{hoặc} \quad x - 15 = -\frac{1}{3}
\]
\[
x = \frac{46}{3} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{44}{3} \quad \text{(không phải số nguyên)}
\]

Tổng hợp các cặp \((x, y)\) nguyên:

- Với \(y = 2\): \( (7, 2), (3, 2) \)
- Với \(y = 3\): \( (14, 3), (0, 3) \)
- Với \(y = 5\): \( (18, 5), (4, 5) \)
- Với \(y = 6\): \( (15, 6), (11, 6) \)

Vậy các cặp số nguyên \((x, y)\) thỏa mãn là:

\( (7, 2), (3, 2), (14, 3), (0, 3), (18, 5), (4, 5), (15, 6), (11, 6) \).