Gọi hai số cần tìm là \( x \) và \( y \), trong đó \( x \) là thừa số thứ nhất và \( y \) là thừa số thứ hai.

Theo đề bài, ta có hai điều kiện:

1. \( x \cdot y = 4624 \)
2. \( y \) là số hai chữ số, ký hiệu là \( 10a + b \) (trong đó \( a \) là chữ số hàng chục, \( b \) là chữ số hàng đơn vị), với điều kiện \( b = a + 1 \).

Vì vậy, ta có thể viết \( y \) dưới dạng:
\[ y = 10a + (a + 1) = 11a + 1 \]
Với \( a \) là các số từ 1 đến 8 (bởi vì số \( y \) phải là hai chữ số).

Thay \( y \) vào phương trình 1:
\[ x \cdot (11a + 1) = 4624 \]

Dễ dàng từ đó tìm được \( x \):
\[ x = \frac{4624}{11a + 1} \]

Bây giờ chúng ta kiểm tra các giá trị của \( a \) từ 1 đến 8 để tìm giá trị nguyên cho \( x \):

- **Khi \( a = 1 \)**:
\[ y = 11(1) + 1 = 12 \]
\[ x = \frac{4624}{12} = 385.33 \] (Không nguyên)

- **Khi \( a = 2 \)**:
\[ y = 11(2) + 1 = 23 \]
\[ x = \frac{4624}{23} = 201.05 \] (Không nguyên)

- **Khi \( a = 3 \)**:
\[ y = 11(3) + 1 = 34 \]
\[ x = \frac{4624}{34} = 136.00 \] (Nguyên, \( x = 136 \))

Kiểm tra lại:
\[ x \cdot y = 136 \cdot 34 = 4624 \]

Bây giờ kiểm tra điều kiện thứ hai: nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị của \( y \), ta sẽ có:
\[ y' = 10b + a = 10(4) + 3 = 43 \]

Và tìm tích mới:
\[ x \cdot y' = 136 \cdot 43 = 5848 \]

Cả hai điều kiện đều thỏa mãn. Vậy hai số cần tìm là:
\[ x = 136, y = 34 \]