Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán.

### Phần a:
Cho \( p \) là số nguyên tố lớn hơn 3, và \( p + 8 \) cũng là số nguyên tố. Chúng ta sẽ chứng minh rằng \( p + 10 \) là hợp số.

1. Vì \( p \) là số nguyên tố lớn hơn 3, nên \( p \) là số lẻ.
2. Do đó, \( p + 8 \) là một số lẻ (bởi vì tổng hai số lẻ là số chẵn, nhưng \( 8 \) là số chẵn, nên tổng \( p + 8 \) vẫn là số lẻ).
3. Từ đó, \( p + 10 \), là tổng của một số lẻ và một số chẵn, sẽ là số lẻ.
4. Tiếp theo, xét \( p \mod 3 \):
- Nếu \( p \equiv 1 \mod 3 \), thì \( p + 8 \equiv 1 + 2 \equiv 0 \mod 3 \). Điều này có nghĩa là \( p + 8 \) không thể là số nguyên tố (trừ khi nó bằng 3, nhưng \( p > 3 \)).
- Nếu \( p \equiv 2 \mod 3 \), thì \( p + 8 \equiv 2 + 2 \equiv 1 \mod 3 \), điều này có thể đúng với một số nguyên tố.

Tuy nhiên, ta cũng kiểm tra \( p + 10 \):
- Nếu \( p \equiv 1 \mod 3 \), \( p + 10 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \mod 3 \) (không phải là bội của 3).
- Nếu \( p \equiv 2 \mod 3 \), \( p + 10 \equiv 2 + 1 \equiv 0 \mod 3 \), tức \( p + 10 \) là bội số của 3 và lớn hơn 3, như vậy là hợp số.

Vậy ta có thể kết luận rằng \( p + 10 \) là hợp số.

### Phần b:
Gọi số tự nhiên cần tìm là \( x \).
Theo đề bài:

- \( x \equiv 3 \mod 11 \)
- \( x \equiv 6 \mod 7 \)

Chúng ta sẽ sử dụng quy tắc hoán vị đồng dư.

1. Từ điều kiện thứ hai, ta có \( x = 7k + 6 \) với \( k \in \mathbb{N} \).
2. Thay vào điều kiện thứ nhất:
\[
7k + 6 \equiv 3 \mod 11 \Rightarrow 7k \equiv -3 \equiv 8 \mod 11
\]
3. Tìm điều kiện trên, ta tính nghịch đảo của 7 modulo 11. Ta tìm \( 7m \equiv 1 \mod 11 \).
- Ta thử các số: \( 7 \cdot 8 \equiv 56 \equiv 1 \mod 11 \). Vậy \( m = 8 \) là nghịch đảo của 7.
4. Nhân hai vế với 8:
\[
k \equiv 8 \cdot 8 \equiv 64 \equiv 9 \mod 11
\Rightarrow k = 11m + 9
\]
5. Thay vào \( x \):
\[
x = 7(11m + 9) + 6 = 77m + 63 + 6 = 77m + 69
\]

Do đó, \( x \equiv 69 \mod 77 \). Số dư của phép tính \( x \) khi chia cho 77 là 69.

### Phần c:
Gọi hai số tự nhiên là \( a \) và \( b \).

Theo đề bài:

- \( \text{ƯCLN}(a, b) = 10 \)
- \( \text{BCNN}(a, b) = 900 \)

Áp dụng mối quan hệ giữa ƯCLN và BCNN:
\[
a \cdot b = \text{ƯCLN}(a, b) \cdot \text{BCNN}(a, b)
\]
\[
a \cdot b = 10 \cdot 900 = 9000
\]

Gọi \( a = 10m \) và \( b = 10n \) với \( \text{ƯCLN}(m, n) = 1 \).
Từ đó:
\[
10m \cdot 10n = 9000 \implies mn = 90
\]

Tìm các cặp (m, n):
- (1, 90)
- (2, 45)
- (3, 30)
- (5, 18)
- (6, 15)
- (9, 10)

Tất cả các cặp thỏa mãn đều cho \( m, n \) là nguyên tố cùng nhau.

Áp dụng vào \( a, b \):
- Nếu \( (m,n) = (1,90)\) => \( (10,900)\)
- Nếu \( (m,n) = (2,45)\) => \( (20,450)\)
- Nếu \( (m,n) = (3,30)\) => \( (30,300)\)
- Nếu \( (m,n) = (5,18)\) => \( (50,180)\)
- Nếu \( (m,n) = (6,15)\) => \( (60,150)\)
- Nếu \( (m,n) = (9,10)\) => \( (90,100)\)

### Phần d:
Gọi số lượng điểm là \( n \). Số lượng đường thẳng vẽ được từ \( n \) điểm là \( C(n, 2) = \frac{n(n - 1)}{2} \).

Theo đề bài, \( C(n, 2) = 105 \):
\[
\frac{n(n - 1)}{2} = 105 \implies n(n - 1) = 210
\]
\[
n^2 - n - 210 = 0
\]
Giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm:
\[
n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 210}}{2} = \frac{1 \pm 29}{2}
\]
Vậy có hai nghiệm:
\[
n = 15 \quad (\text{chọn} \; n > 0) \quad \text{và} \quad n = -14 \quad (\text{bỏ qua} \; n < 0)
\]

Vậy, số lượng điểm là \( n = 15 \).

Tóm lại:
- a. \( p + 10 \) là hợp số.
- b. Số dư là 69.
- c. Ví dụ một cặp là (10, 900).
- d. Số điểm là 15.