Để giải bài toán này, ta tiến hành như sau:

a) Từ giác D I K E là hình gì?
- Xét tứ giác D I K E, với điểm K là trung điểm của AC và điểm I là trung điểm của AB.
- Tứ giác này có D và E nằm trên các cạnh AB và AC, và M là trung điểm của BC. Khi đó, D và E phải tạo ra hai đường vuông góc từ M đến hai cạnh này.
- Vì vậy, tứ giác D I K E sẽ là hình chữ nhật, bởi vì các cạnh DI và EK sẽ vuông góc với nhau và DI = EK.

b) ∆ABC cần thêm điều kiện gì để D I K E là hình chữ nhật?
- Để D I K E là hình chữ nhật, ta cần ∆ABC có tính chất: các cạnh AB và AC phải bằng nhau (AB = AC). Khi đó, góc A sẽ trở thành góc vuông và giúp tứ giác D I K E là hình chữ nhật, bởi các cạnh DI và EK sẽ trở thành các cạnh đối nhau bằng nhau và vuông góc.

Tóm lại:
- a) Tứ giác D I K E là hình chữ nhật.
- b) Để D I K E là hình chữ nhật, ∆ABC cần có AB = AC.