Để rút gọn biểu thức \(\frac{\sin a + \sin 2a}{1 + \cos a + \cos 2a}\), chúng ta sẽ sử dụng một số định lý và công thức trong lượng giác.

Trước tiên, hãy sử dụng công thức \(\sin 2a = 2 \sin a \cos a\) và \(\cos 2a = 2 \cos^2 a - 1\).

Ta có:

\[
\sin 2a = 2 \sin a \cos a
\]

Bây giờ, thay vào biểu thức:

\[
\frac{\sin a + \sin 2a}{1 + \cos a + \cos 2a} = \frac{\sin a + 2 \sin a \cos a}{1 + \cos a + (2 \cos^2 a - 1)}
\]

Biến đổi mẫu số:

\[
1 + \cos a + (2 \cos^2 a - 1) = \cos a + 2 \cos^2 a = 2 \cos^2 a + \cos a
\]

Vậy ta có:

\[
\frac{\sin a + 2 \sin a \cos a}{2 \cos^2 a + \cos a} = \frac{\sin a (1 + 2 \cos a)}{\cos a (2 \cos a + 1)}
\]

Cuối cùng, biểu thức càng gọn hơn:

\[
\frac{\sin a (1 + 2 \cos a)}{\cos a (2 \cos a + 1)} = \tan a \cdot \frac{1 + 2 \cos a}{2 \cos a + 1}
\]

Vậy biểu thức rút gọn cuối cùng là:

\[
\tan a \cdot \frac{1 + 2 \cos a}{2 \cos a + 1}
\]

Hy vọng rằng điều này sẽ giúp bạn trong việc giải quyết bài toán!