Tính tổng S = 1 + 4 + 7 + 10 + ... + n (n thuộc N)

Để tính tổng \( S = 1 + 4 + 7 + 10 + \ldots + n \) với \( n \) là số hạng cuối cùng của dãy số, trước tiên ta cần xác định công thức tổng quát cho dãy số này.

Dãy số trên là một dãy số cộng dồn (hình thành từ các số hạng có khoảng cách đều nhau), với số hạng đầu tiên là 1, với công sai \( d = 3 \). Số hạng thứ \( k \) trong dãy này có thể được diễn tả bằng công thức:

\[
a_k = 1 + (k - 1) \cdot 3 = 3k - 2.
\]

Dãy số này sẽ tiếp tục cho đến khi \( a_k \leq n \). Để tìm số hạng cuối cùng \( k \), ta giải bất phương trình:

\[
3k - 2 \leq n \implies 3k \leq n + 2 \implies k \leq \frac{n + 2}{3}.
\]

Khi đó, số hạng cuối cùng \( k \) là:

\[
k = \left\lfloor \frac{n + 2}{3} \right\rfloor.
\]

Giờ đây, để tính tổng S của các số hạng từ 1 đến số hạng cuối cùng \( k \), ta có công thức tổng của dãy số:

\[
S_k = \frac{k}{2} (a_1 + a_k),
\]

với \( a_1 = 1 \) và \( a_k = 3k - 2 \). Thay vào công thức, ta có:

\[
S_k = \frac{k}{2} (1 + (3k - 2)) = \frac{k}{2} (3k - 1) = \frac{3k^2 - k}{2}.
\]

Vậy tổng \( S \) là:

\[
S = \frac{3k^2 - k}{2},
\]

với \( k = \left\lfloor \frac{n + 2}{3} \right\rfloor \).

Tóm lại, tổng \( S \) của dãy số từ 1 đến n là:

\[
S = \frac{3\left\lfloor \frac{n + 2}{3} \right\rfloor^2 - \left\lfloor \frac{n + 2}{3} \right\rfloor}{2}.
\]