Để chứng minh tổng \( S = 1 + 7 + 7^2 + 7^3 + \ldots + 7^{101} \) chia hết cho 8, ta sẽ sử dụng công thức tổng cấp số nhân.

Tổng của dãy số này có dạng:
\[
S = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}
\]
với \( a = 1 \), \( r = 7 \), và \( n = 102 \) (vì có 102 số từ \( 7^0 \) đến \( 7^{101} \)).

Áp dụng vào công thức, ta có:
\[
S = \frac{1(1 - 7^{102})}{1 - 7} = \frac{1 - 7^{102}}{-6} = \frac{7^{102} - 1}{6}
\]

Để chứng minh \( S \) chia hết cho 8, ta sẽ chứng minh \( 7^{102} - 1 \) chia hết cho 48 (vì \( 6 \times 8 = 48 \)).

Bước đầu tiên là kiểm tra \( 7^{102} \mod 8 \):
- Ta thấy \( 7 \equiv -1 \mod 8 \)
- Do đó, \( 7^{102} \equiv (-1)^{102} \equiv 1 \mod 8 \), dẫn đến:
\[
7^{102} - 1 \equiv 0 \mod 8
\]

Tiếp theo, kiểm tra \( 7^{102} \mod 3 \):
- \( 7 \equiv 1 \mod 3 \)
- Vậy \( 7^{102} \equiv 1^{102} \equiv 1 \mod 3 \), do đó:
\[
7^{102} - 1 \equiv 0 \mod 3
\]

Bây giờ, chúng ta có:
- \( 7^{102} - 1 \equiv 0 \mod 8 \)
- \( 7^{102} - 1 \equiv 0 \mod 3 \)

Theo định lý số nguyên tố cơ bản, vì 8 và 3 là coprime, suy ra \( 7^{102} - 1 \) chia hết cho \( 8 \times 3 = 24 \).

Cuối cùng, để chứng minh \( 7^{102} - 1 \) chia hết cho 48, chúng ta cần kiểm tra nó chia hết cho 2:
- \( 7 \equiv 1 \mod 2 \) nên \( 7^{102} \equiv 1 \mod 2 \), suy ra \( 7^{102} - 1 \equiv 0 \mod 2 \), nên \( 7^{102} - 1 \) chia hết cho 2.

Bây giờ, ta có:
- \( 7^{102} - 1 \equiv 0 \mod 8 \)
- \( 7^{102} - 1 \equiv 0 \mod 3 \)
- \( 7^{102} - 1 \equiv 0 \mod 2 \)

Kết luận lại, \( 7^{102} - 1 \) chia hết cho 48. Do đó, \( S = \frac{7^{102} - 1}{6} \) cũng chia hết cho 8.

Vậy ta có:
\[
S \equiv 0 \mod 8
\]
Chứng minh rằng tổng \( 1 + 7 + 7^2 + 7^3 + \ldots + 7^{101} \) chia hết cho 8.