Để chứng minh bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất cơ bản trong hình học, cụ thể là các tính chất về góc và tiếp tuyến.

### a. Chứng minh góc \( \angle IOA = \angle IOB \)

1. **Gọi điểm A thuộc đường tròn \((O)\)** là điểm tiếp xúc, và I là điểm trên tiếp tuyến tại A. Suy ra, IA là tiếp tuyến của đường tròn.
2. **Do đó, theo tính chất tiếp tuyến, \( \angle IAO = 90^\circ \)**.
3. **Vẽ dây cung CB song song với IO**, suy ra hai đường thẳng CB và IO sẽ cùng song song với nhau.
4. **Theo tính chất của góc tạo thành giữa đường thẳng song song và một đường chéo, ta có: \(\angle IOA = \angle IOB\)**.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được:
\[
\angle IOA = \angle IOB.
\]

### b. Chứng minh đường thẳng IB là tiếp tuyến của (O)

1. **Do mối quan hệ giữa góc và tiếp tuyến, ta đã biết rằng \(\angle IAO = 90^\circ\)**.
2. **Ta có góc \(\angle IOB = \angle IOA\)**, điều này có nghĩa là góc IOA là góc đối diện với IB.
3. **Vì IB song song với OI**, nên tại điểm B, ta có:
\[
\angle IOB = 90^\circ.
\]
4. **Theo định nghĩa tiếp tuyến, nếu một đường thẳng tạo với bán kính tại một điểm trên đường tròn một góc 90 độ thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn. Do đó, IB sẽ là tiếp tuyến của (O)**.

Vậy chúng ta đã chứng minh được:
- Đường thẳng IB là tiếp tuyến của (O).

### Kết luận

Chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh:
- a) \( \angle IOA = \angle IOB \).
- b) Đường thẳng IB là tiếp tuyến của đường tròn (O).