Chứng minh 3^x + 2^x = x^3 + 1 vô nghiệm

Để chứng minh rằng phương trình \( 3^x + 2^x = x^3 + 1 \) vô nghiệm, chúng ta sẽ xem xét hàm \( f(x) = 3^x + 2^x - x^3 - 1 \) và khảo sát các tính chất của nó.

1. **Xét giá trị tại một số điểm**:
- Tại \( x = 0 \):
\[
f(0) = 3^0 + 2^0 - 0^3 - 1 = 1 + 1 - 0 - 1 = 1 > 0
\]
- Tại \( x = 1 \):
\[
f(1) = 3^1 + 2^1 - 1^3 - 1 = 3 + 2 - 1 - 1 = 3 > 0
\]
- Tại \( x = 2 \):
\[
f(2) = 3^2 + 2^2 - 2^3 - 1 = 9 + 4 - 8 - 1 = 4 > 0
\]
- Tại \( x = 3 \):
\[
f(3) = 3^3 + 2^3 - 3^3 - 1 = 27 + 8 - 27 - 1 = 7 > 0
\]

2. **Tính giá trị tại \( x = 4 \)**:
\[
f(4) = 3^4 + 2^4 - 4^3 - 1 = 81 + 16 - 64 - 1 = 32 > 0
\]

3. **Xét khi \( x \to +\infty \)**:
- Khi \( x \) lớn, \( 3^x \) và \( 2^x \) sẽ tăng nhanh hơn \( x^3 \). Do đó, \( f(x) \to +\infty \) khi \( x \to +\infty \).

4. **Xét khi \( x \to -\infty \)**:
- Khi \( x \) nhỏ, cụ thể là \( x < 0 \), cả \( 3^x \) và \( 2^x \) sẽ tiến tới 0. Trong khi đó, \( x^3 \) là một số âm (vì \( x \) là số âm), do đó \( 1 + x^3 \) cũng sẽ là một số âm. Vậy \( f(x) \) sẽ tiến tới \( 0 - (-\infty) = +\infty \).

5. **Tính đạo hàm của hàm số**:
- Tính đạo hàm của \( f(x) \):
\[
f'(x) = 3^x \ln(3) + 2^x \ln(2) - 3x^2
\]
Chúng ta sẽ xem xét dấu của \( f'(x) \):
- Khi \( x \) lớn (dương), \( f'(x) \) dương vì \( 3^x \ln(3) + 2^x \ln(2) \) sẽ lớn hơn \( 3 x^2 \).
- Khi \( x \) nhỏ (âm), \( f'(x) \) cũng được chứng minh là dương do \( 3^x \) và \( 2^x \) có thể bỏ qua trước \( -3x^2 \).

Với tất cả các phân tích trên, ta thấy rằng \( f(x) \) luôn dương với tất cả các giá trị thử nghiệm và đặc biệt hàm là hàm liên tục và luôn tăng. Do đó, ta có thể kết luận rằng phương trình \( 3^x + 2^x = x^3 + 1 \) vô nghiệm, tức là không có giá trị của \( x \) nào mà làm cho phương trình này đúng.