Để chứng minh rằng \( S = 1 + 4 + 4^2 + 4^3 + \ldots + 4^{2012} \) chia hết cho 21, ta đầu tiên sẽ tính tổng của dãy số này.

Dãy số trên là một dãy số hình học với số hạng đầu là \( a = 1 \) và tỷ số là \( r = 4 \). Số hạng cuối là \( 4^{2012} \). Công thức tổng của một dãy số hình học là:

\[
S_n = \frac{a (r^n - 1)}{r - 1}
\]

Trong trường hợp này:
- \( n = 2013 \) (tổng cộng 2013 số hạng),
- \( a = 1 \),
- \( r = 4 \).

Áp dụng công thức, ta có:

\[
S = \frac{1 \cdot (4^{2013} - 1)}{4 - 1} = \frac{4^{2013} - 1}{3}
\]

Ta cần chứng minh rằng \( S \) chia hết cho 21, tức là \( \frac{4^{2013} - 1}{3} \equiv 0 \mod 21 \).

### Bước 1: Xem xét điều kiện chia hết cho 3

Ta cần chứng minh \( 4^{2013} - 1 \equiv 0 \mod 9 \) (bởi vì \( 3 \times 7 = 21 \)).

Ta sử dụng định lý Fermat, theo đó \( a^{p-1} \equiv 1 \mod p \) với \( p \) là số nguyên tố. Ở đây \( p = 3 \):

\[
4^2 \equiv 1 \mod 3 \Rightarrow 4^{2012} \equiv 1 \mod 3
\]

Do đó \( 4^{2013} \equiv 4 \mod 3 \):

\[
4^{2013} - 1 \equiv 4 - 1 = 3 \equiv 0 \mod 3
\]

### Bước 2: Xem xét điều kiện chia hết cho 7

Tiếp tục với \( 4^{2013} - 1 \equiv 0 \mod 7 \).

Sử dụng định lý Fermat với \( p = 7 \):

\[
4^6 \equiv 1 \mod 7
\]

Tính \( 2013 \mod 6 \):

\[
2013 \div 6 = 335 \text{ dư } 3 \Rightarrow 2013 \equiv 3 \mod 6
\]

Vậy \( 4^{2013} \equiv 4^3 \mod 7 \). Tính giá trị:

\[
4^1 \equiv 4 \mod 7,
\]
\[
4^2 \equiv 16 \equiv 2 \mod 7,
\]
\[
4^3 \equiv 8 \equiv 1 \mod 7.
\]

Do đó:

\[
4^{2013} \equiv 1 \mod 7 \Rightarrow 4^{2013} - 1 \equiv 1 - 1 = 0 \mod 7.
\]

### Kết luận

Với \( 4^{2013} - 1 \equiv 0 \mod 3 \) và \( 4^{2013} - 1 \equiv 0 \mod 7 \), theo định lý chia hết (bởi vì 3 và 7 là nguyên tố cùng nhau):

\[
4^{2013} - 1 \equiv 0 \mod 21.
\]

Khi đó:

\[
\frac{4^{2013} - 1}{3} \equiv 0 \mod 21,
\]

Cụ thể là \( S \equiv 0 \mod 21 \).

Do đó, \( S = 1 + 4 + 4^2 + \ldots + 4^{2012} \) chia hết cho 21.