Để tính diện tích sân trường hình chữ nhật, ta thực hiện các bước sau:

1. **Tính chu vi của sân trường**:
Nửa chu vi \(P\) là 0,3 km, nên chu vi \(C = 2 \times P = 0,6\) km.

Chuyển sang mét:
\[
C = 0,6 \text{ km} = 600 \text{ m}
\]

2. **Gọi chiều dài là \(L\) và chiều rộng là \(W\)**:
Theo đề bài, chiều rộng bằng \(\frac{2}{3}\) chiều dài:
\[
W = \frac{2}{3}L
\]

3. **Sử dụng công thức chu vi**:
Công thức chu vi hình chữ nhật là:
\[
C = 2(L + W)
\]
Thay \(W\) vào công thức:
\[
600 = 2\left(L + \frac{2}{3}L\right)
\]
\[
600 = 2\left(\frac{5}{3}L\right)
\]
\[
600 = \frac{10}{3}L
\]
\[
L = \frac{600 \times 3}{10} = 180 \text{ m}
\]

4. **Tính chiều rộng**:
\[
W = \frac{2}{3}L = \frac{2}{3} \times 180 = 120 \text{ m}
\]

5. **Tính diện tích**:
Diện tích \(A\) của hình chữ nhật được tính bằng công thức:
\[
A = L \times W
\]
\[
A = 180 \times 120 = 21600 \text{ m}^2
\]

Do đó, **diện tích sân trường đó là 21600 mét vuông**.