Để chứng minh hai phần của bài toán, ta sẽ thực hiện như sau:

### a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành.

1. **Các đoạn thẳng song song**:
- Theo định nghĩa hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện song song.
- Đường thẳng \(m\) cắt \(AB\) và \(CD\) tại điểm \(M\) và \(P\), do đó:
\[
MN \parallel PQ \quad \text{(vì \(MN\) và \(PQ\) đều nằm trên các đường thẳng song song với \(m\))}
\]
- Đường thẳng \(n\) cắt \(BC\) và \(DA\) tại điểm \(N\) và \(Q\), do đó:
\[
MP \parallel NQ \quad \text{(vì \(MP\) và \(NQ\) đều nằm trên các đường thẳng song song với \(n\))}
\]

2. **Kết luận**:
- Vì có hai cặp cạnh đối diện song song, suy ra tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành.

### b) Chứng minh MNPQ là hình thoi.

1. **Các cạnh bằng nhau**:
- Để chứng minh \(MNPQ\) là hình thoi, ta cần chứng minh cả bốn cạnh của nó đều bằng nhau.
- Từ tính chất của hình bình hành, ta có:
\[
MN = PQ \quad \text{và} \quad MP = NQ
\]

2. **Đường chéo vuông góc**:
- Bởi vì \(n\) vuông góc với \(m\), ta thấy rằng các đoạn nối giữa các đỉnh (\(M\) với \(N\), \(N\) với \(P\), \(P\) với \(Q\), và \(Q\) với \(M\)) đều tạo thành các góc vuông với nhau.

3. **Kết luận**:
- Do đó, vì \(MNPQ\) là hình bình hành với các đường chéo vuông góc, nên tứ giác \(MNPQ\) là hình thoi.

### Kết luận chung:
- Tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành và hình thoi theo yêu cầu của đề bài.