Tìm \( x y \in \mathbb{Z}^ \), \( xy > 1 \)

Để tìm giới hạn \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + \alpha}{xy - 1}\) với điều kiện \(xy > 1\), ta sẽ xem xét các trường hợp khác nhau cho \(y\).

1. **Giả sử \(y\) là hằng số dương**: Khi \(x\) tiến đến vô cùng, \(\frac{x^3}{xy}\) sẽ chiếm ưu thế.

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + \alpha}{xy - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{xy} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{y} = \infty
\]

2. **Giả sử \(y\) là hằng số âm**: Trong trường hợp này \((xy \to -\infty)\) khi \(x \to \infty\), nhưng với điều kiện \(xy > 1\), ta thấy rằng \(x\) và \(y\) phải có dấu khác nhau.

Tuy nhiên, vì \(xy\) phải vẫn lớn hơn 1, dẫn đến \(y\) không thể là hằng số âm trong giới hạn \(x \to \infty\).

Kết luận là \(y\) phải là hằng số dương và:

\[
\lim_{x \to \infty} \frac{x^3 + \alpha}{xy - 1} = \infty
\]

Với điều kiện \(xy > 1\) được thỏa mãn.