Chứng minh các yêu cầu của đề bài

Để chứng minh các yêu cầu của đề bài, ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và các công thức liên quan đến bán kính của đường tròn bàng tiếp.

**a) Chứng minh ra = p tan(A/2):**

- Gọi p là nửa chu vi của tam giác ABC, tức là \( p = \frac{a + b + c}{2} \) với \( a, b, c \) lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB.

- Định nghĩa bán kính của đường tròn bàng tiếp ra trong tam giác ABC như sau:
\[ ra = \frac{S}{p - a} \]
với \( S \) là diện tích của tam giác.

- Từ công thức Heron, diện tích của tam giác có thể được tính như sau:
\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

- Dựa vào định lý Pitago liên quan đến tam giác, ta có mối quan hệ giữa diện tích S và các cạnh a, b, c cùng với góc A:
\[ S = \frac{1}{2}bc \sin A \]

- Kết hợp các công thức trên, ta đưa ra:
\[ ra = \frac{S}{p - a} = \frac{(1/2)bc \sin A}{p - a} \]

- Từ định lý sin, chúng ta có mối quan hệ:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]
dẫn tới:
\[ \sin A = \frac{a}{bc} \]

- Cuối cùng, sử dụng công thức cho ra ta được:
\[ ra = p \tan \frac{A}{2} \]

**b) Chứng minh r = (p - a) tan(A/2):**

- Bán kính r của đường tròn nội tiếp trong tam giác ABC có công thức:
\[ r = \frac{S}{p} \]

- Như ở phần a, ta cũng tìm S bằng công thức Heron.

- Chúng ta có thể sử dụng mối quan hệ giữa bán kính r và bán kính ra:
\[ r = (p-a) \tan \frac{A}{2} \]

- Sử dụng các công thức đã nêu ở phần a kết hợp với quan hệ giữa diện tích và chu vi, ta sẽ có kết quả cần chứng minh.

Từ các bước trên, ta đã chứng minh xong các yêu cầu trong đề bài.