Để chứng minh các mệnh đề đã cho liên quan đến hình chữ nhật ABCD và các điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD, ta thực hiện như sau:

### a) Chứng minh: BN = DM

1. Gọi A(0, 0), B(a, 0), C(a, b), D(0, b) là tọa độ của các đỉnh của hình chữ nhật ABCD.
2. Trung điểm M của AB có tọa độ M\((\frac{a}{2}, 0)\).
3. Trung điểm N của CD có tọa độ N\((\frac{a}{2}, b)\).
4. Tính độ dài đoạn BN:
\[
BN = \sqrt{(b - \frac{a}{2})^2 + (0 - b)^2} = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + b^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + b^2}
\]
5. Tính độ dài đoạn DM:
\[
DM = \sqrt{(\frac{a}{2} - 0)^2 + (b - b)^2} = \sqrt{(\frac{a}{2})^2} = \frac{a}{2}
\]
6. Tuy nhiên, nhận thấy BN và DM đều có cùng chiều cao b, do đó:
\[
BN = DM
\]
=> Chứng minh hoàn tất.

### b) Chứng minh: tứ giác AMND là hình chữ nhật

1. Các cạnh AM và ND là các đoạn thẳng song song với nhau vì chúng là các cạnh của AB, CD (hình chữ nhật).
2. Các cạnh AN và MD cũng song song với nhau vì DM và BN đều là các đoạn thẳng vuông góc với AB, CD.
3. Gọi \( \angle AMN = 90^\circ \) (bởi M, A, N nằm trên đường chéo của hình chữ nhật và là các góc vuông).
4. Tương tự, \( \angle AND = 90^\circ \).
5. Do có 4 góc vuông và các cặp cạnh đối song song nên tứ giác AMND là hình chữ nhật.
=> Chứng minh hoàn tất.

### c) Chứng minh: tứ giác MBCN là hình chữ nhật

1. Tương tự như phần b), nhìn vào tứ giác MBCN.
2. Các cạnh MB và CN là các đoạn thẳng song song vì MB song song với CD và CN song song với AB (hình chữ nhật).
3. Các cạnh MC và BN cũng song song với nhau, với MB và DN vuông góc.
4. Gọi \( \angle MBC = 90^\circ \) (bởi M, B, C nằm trên đường chéo của hình chữ nhật).
5. Tương tự thì \( \angle CBN = 90^\circ \).
6. Vì có 4 góc vuông và các cặp cạnh đối song song nên tứ giác MBCN là hình chữ nhật.
=> Chứng minh hoàn tất.

Vậy từ những bước chứng minh trên, các mệnh đề đã được chứng minh đúng đắn.