Để tìm giá trị \( m \) sao cho phương trình \( \cos 2x + 1 - m = 0 \) có nghiệm, ta có thể biến đổi phương trình này thành:

\[
\cos 2x = m - 1
\]

Biểu thức \( \cos 2x \) có giá trị nằm trong đoạn \([-1, 1]\). Vì vậy, chúng ta cần làm cho biểu thức bên phải cũng nằm trong khoảng đó:

\[
-1 \leq m - 1 \leq 1
\]

Giải bất phương trình này:

1. Từ bất phương trình bên trái:
\[
m - 1 \geq -1 \implies m \geq 0
\]

2. Từ bất phương trình bên phải:
\[
m - 1 \leq 1 \implies m \leq 2
\]

Kết hợp cả hai bất phương trình, ta có:

\[
0 \leq m \leq 2
\]

Vậy giá trị của \( m \) để phương trình có nghiệm là:

\[
m \in [0, 2]
\]