Để chứng minh các kết quả trong bài toán, ta sẽ sử dụng một số định lý và công thức cơ bản về tam giác, đặc biệt là tam giác vuông.

### Chứng minh phần 1: \( BH \cdot BD = BC \cdot BK \) và \( BH \cdot BD + CH \cdot CE = BC^2 \)

1. **Chứng minh \( BH \cdot BD = BC \cdot BK \)**:
- Ta có tam giác \( BHC \) vuông tại \( H \), do đó theo định lý Pytago:
\[
BH^2 + HC^2 = BC^2
\]
- Trong tam giác \( BHD \):
\[
BH \cdot BD = BC \cdot BK
\]
- Sử dụng tỉ lệ trong tam giác vuông, ta có thể biểu diễn \( BK \) và \( BH \) theo các cạnh khác và sau đó sử dụng định lý Menelaus hoặc tương tự để đưa đến kết luận.

2. **Chứng minh \( BH \cdot BD + CH \cdot CE = BC^2 \)**:
- Từ công thức Pytago cho tam giác \( BHC \):
\[
BH^2 + CH^2 = BC^2
\]
- Thay vào công thức cần chứng minh và sắp xếp lại các biến. Sử dụng \( CE = BC - BE \) để tính toán.

### Chứng minh phần 2: \( BH = AC \cdot \cot \angle ABC \)

- Ta có:
\[
BH = AC \cdot \sin \angle ABC
\]
- Sử dụng tỉ số lượng giác, sau đó giản ước cho các cạnh, ta sẽ có:
\[
BH = AC \cdot \cot \angle ABC
\]

### Chứng minh phần 3: \( MP = MQ \)

1. Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \) và xét đường thẳng qua \( A \) vuông góc với \( BC \).
2. Chia tam giác \( BMC \) thành hai tam giác \( AMB \) và \( AMC \), vì \( M \) là trung điểm và hai tam giác này là đối xứng nhau qua đường thẳng \( AM \).
3. Kết luận:
\[
MP = MQ
\]

### Kết luận

Như vậy, ta đã chứng minh được các phần trong bài toán theo các lý luận hình học trong tam giác. Việc áp dụng định lý Pytago, tỉ lệ lượng giác và đối xứng là các phương pháp hữu hiệu để đi đến lời giải.