Để chứng minh các kết quả trong bài toán, ta sẽ sử dụng một số định lý và công thức cơ bản về tam giác, đặc biệt là tam giác vuông.
### Chứng minh phần 1:
BH⋅BD=BC⋅BK và
BH⋅BD+CH⋅CE=BC21. **Chứng minh
BH⋅BD=BC⋅BK**:
- Ta có tam giác
BHC vuông tại
H, do đó theo định lý Pytago:
BH2+HC2=BC2
- Trong tam giác
BHD:
BH⋅BD=BC⋅BK
- Sử dụng tỉ lệ trong tam giác vuông, ta có thể biểu diễn
BK và
BH theo các cạnh khác và sau đó sử dụng định lý Menelaus hoặc tương tự để đưa đến kết luận.
2. **Chứng minh
BH⋅BD+CH⋅CE=BC2**:
- Từ công thức Pytago cho tam giác
BHC:
BH2+CH2=BC2
- Thay vào công thức cần chứng minh và sắp xếp lại các biến. Sử dụng
CE=BC−BE để tính toán.
### Chứng minh phần 2:
BH=AC⋅cot∠ABC- Ta có:
BH=AC⋅sin∠ABC
- Sử dụng tỉ số lượng giác, sau đó giản ước cho các cạnh, ta sẽ có:
BH=AC⋅cot∠ABC
### Chứng minh phần 3:
MP=MQ1. Gọi
M là trung điểm của
BC và xét đường thẳng qua
A vuông góc với
BC.
2. Chia tam giác
BMC thành hai tam giác
AMB và
AMC, vì
M là trung điểm và hai tam giác này là đối xứng nhau qua đường thẳng
AM.
3. Kết luận:
MP=MQ
### Kết luận
Như vậy, ta đã chứng minh được các phần trong bài toán theo các lý luận hình học trong tam giác. Việc áp dụng định lý Pytago, tỉ lệ lượng giác và đối xứng là các phương pháp hữu hiệu để đi đến lời giải.