Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng hình học và một số kiến thức từ đại số để tìm ra độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng \( PQ \).

### Phần c: Xác định vị trí của M và N để PQ có độ dài nhỏ nhất và tìm độ dài nhỏ nhất đó của PQ.

1. **Xác định tọa độ các điểm:**
- Giả sử hình vuông ABCD có các đỉnh:
- \( A(0, a) \)
- \( B(0, 0) \)
- \( C(a, 0) \)
- \( D(a, a) \)
- Điểm M trên BC có tọa độ \( M(a, m) \) với \( 0 \leq m \leq a \).
- Điểm N trên AD có tọa độ \( N(0, n) \) với \( 0 \leq n \leq a \).
- Theo giả thiết, ta có \( CM = AN \) hay \( a - m = n \), suy ra \( m + n = a \).

2. **Tìm phương trình của các đường thẳng AM và BN:**
- Đường thẳng \( AM \) có phương trình:
\[
y - a = \frac{m - a}{a}(x - 0) \Rightarrow y = -\frac{m - a}{a}x + a.
\]
(hệ số góc \( \frac{m-a}{a} \))
- Đường thẳng \( BN \) có phương trình:
\[
y - 0 = \frac{n - 0}{0-a}(x - a) \Rightarrow y = -\frac{n}{a}x + n.
\]

3. **Tìm giao điểm P và Q:**
- Để tìm giao điểm \( P \) của đường thẳng \( AM \) và đường thẳng \( CD (y=a) \):
\[
a = -\frac{m - a}{a}x + a \Rightarrow x = \frac{a^2}{m}.
\]
- Như vậy, \( P\left( \frac{a^2}{m}, a \right) \).
- Tương tự, để tìm giao điểm \( Q \) của đường thẳng \( BN \):
\[
a = -\frac{n}{a}x + n \Rightarrow x = \frac{na^2}{n - a}.
\]
- Như vậy, \( Q\left( \frac{na^2}{n - a}, a \right) \).

4. **Tính độ dài PQ:**
- Độ dài của PQ là:
\[
PQ = \left| \frac{a^2}{m} - \frac{na^2}{n - a} \right| = a^2\left| \frac{1}{m} - \frac{n}{n-a} \right|.
\]

5. **Tối ưu hóa PQ:**
- Ta biết rằng \( m + n = a \) nên \( n = a - m \). Thay vào công thức:
\[
PQ = a^2 \left| \frac{1}{m} - \frac{a - m}{m} \right| = a^2 \left| \frac{1}{m} + \frac{m - a}{m} \right| = a^2 \left| \frac{2m - a}{m} \right|.
\]

- Để \( PQ \) nhỏ nhất, ta cần \( 2m - a = 0 \) hay \( m = \frac{a}{2} \). Tương ứng với \( n = a - m = \frac{a}{2} \).

6. **Tìm độ dài nhỏ nhất của PQ:**
- Khi \( m = n = \frac{a}{2} \), ta có:
\[
PQ = a^2 \left| \frac{2 \cdot \frac{a}{2} - a}{\frac{a}{2}} \right| = a^2 \cdot 0 = 0.
\]

#### Kết luận:
- Vị trí của M và N để PQ có độ dài nhỏ nhất là \( M \) và \( N \) nằm tại trung điểm của các cạnh \( BC \) và \( AD \) (tức là cả hai điểm đều có tọa độ \( \frac{a}{2} \)).
- Độ dài nhỏ nhất của \( PQ \) là 0, khi mà hai điểm \( P \) và \( Q \) trùng nhau.