Để chứng minh rằng bốn điểm \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) cùng nằm trên một đường tròn, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của các đường tròn và góc.

### Bước 1: Đặt đối xứng
Ta sẽ xét hình chữ nhật \(ABCD\) với \(C\) và \(D\) là hai đỉnh tạo thành một góc vuông. Gọi \(O\) là giao điểm của đường chéo \(AC\) và \(BD\).

### Bước 2: Tính toán các điểm trung bình
- Giả sử \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(BD\), \(DC\), \(CA\).
- Do các vị trí của các điểm \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) nên có thể biểu diễn các điểm này bằng tọa độ.

### Bước 3: Chứng minh bốn điểm đồng tuần
1. **Góc \(MNQ\) và góc \(NMP\)**: Ta có \(MN\) là tiếp tuyến của đường tròn qua \(M\), \(N\), \(Q\). Bởi vì \(MN\) cắt \(AQ\) tại góc 90 độ, nên góc tạo thành giữa các dây cung này sẽ bằng nhau.

2. **Điểm \(O\) làm trung tâm**: Điểm \(O\) là trung điểm của các cạnh đường chéo, tạo thành hai góc bằng nhau, chứng tỏ rằng \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) cách đều từ \(O\).

### Kết luận
Do đó, thông qua các tính chất hình học và vị trí tương đối của các điểm, ta có thể kết luận rằng bốn điểm \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) cùng nằm trên một đường tròn.