Để chứng minh rằng bốn điểm \( B, I, C, K \) đồng nằm trên một đường tròn, ta có thể sử dụng tính chất của các góc phụ thuộc vào hình học phẳng.

1. **Đặt các yếu tố và các ký hiệu**: Gọi \( D \) là trung điểm của \( BI \) và \( E \) là trung điểm của \( CK \) như đã cho.

2. **Chứng minh góc**: Từ đó, ta có các đoạn thẳng vuông góc:
- Do \( MD \perp AB \) nên \( \angle MDB = 90^\circ \).
- Do \( ME \perp AC \) nên \( \angle MEC = 90^\circ \).

3. **Chú ý tới các góc**:
- Khi \( D \) là trung điểm của \( BI \) đồng nghĩa với việc \( B \) và \( I \) nhìn từ \( D \) tạo thành các góc bằng nhau.
- Tương tự, \( E \) là trung điểm của \( CK \) có nghĩa là \( C \) và \( K \) nhìn từ \( E \) cũng tạo các góc bằng nhau.

4. **Sử dụng định lý góc nội tiếp**:
- Ta có \( \angle BID = \angle CID \) (do trung điểm) và \( \angle CIE = \angle KIE \) (do cũng trung điểm và vuông góc).
- Điều này cho thấy \( \angle BIC = \angle BKC\).

5. **Kết luận**:
- Theo định lý về góc nội tiếp, nếu \( B I C K \) có một số cặp góc mà đối diện nhau có số đo bằng nhau thì bốn điểm này sẽ nằm trên cùng một đường tròn.

Do đó, chúng ta đã chứng minh rằng \( B, I, C, K \) cùng nằm trên 1 đường tròn.