Để chứng minh rằng các tam giác ABC và ADC là tam giác cân, cũng như rằng tứ giác ABCD là hình thoi, chúng ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Chứng minh các tam giác ABC và ADC là tam giác cân:**
- Ta có điều kiện: \(\angle BAD = \angle BCD\) và \(\angle BCD\) là tia phân giác của góc \(\angle BAD\) và \(\angle CAD\).
- Từ điều kiện trên, ta thấy rằng góc \(\angle ABC = \angle ACB\) trong tam giác ABC và góc \(\angle ADC = \angle ACD\) trong tam giác ADC.
- Vì vậy, tương ứng ta có \(AB = AC\) và \(AD = AC\).

2. **Chứng minh AB = AD:**
- Từ điều kiện đã chứng minh ở trên, ta có \(AB = AC\) và \(AD = AC\) nên \(AB = AD\).

3. **Chứng minh tứ giác ABCD là hình thoi:**
- Vì \(AB = AD\) và \(AC\) là cạnh chung của hai tam giác (tam giác cân), ba cạnh còn lại \(BC\) và \(DC\) cũng bằng nhau do tính chất đối xứng.
- Điều này dẫn đến việc tứ giác ABCD là hình thoi vì tất cả các cạnh đều bằng nhau và các góc đối đỉnh bằng nhau.

Tóm lại, các tam giác ABC và ADC là tam giác cân, và tứ giác ABCD là hình thoi.