Gọi số viên bi của Hòa là \( x \) và số viên bi của Bình là \( y \).

Theo đề bài, ta có các hệ điều kiện sau:

1. Tổng số viên bi của Hòa và Bình là 120:
\[
x + y = 120
\]

2. Nếu Hòa cho Bình 10 viên bi, số viên bi của Hòa và Bình sẽ bằng nhau. Khi đó, số viên bi của Hòa sẽ là \( x - 10 \) và của Bình sẽ là \( y + 10 \). Do đó, ta có phương trình:
\[
x - 10 = y + 10
\]

Giải phương trình thứ hai trước:
\[
x - 10 = y + 10
\]
\[
x - y = 20 \quad (1)
\]

Giờ ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
x + y = 120 \quad (2) \\
x - y = 20 \quad (1)
\end{cases}
\]

Ta sẽ cộng hai phương trình (1) và (2):
\[
(x + y) + (x - y) = 120 + 20
\]
\[
2x = 140
\]
\[
x = 70
\]

Thay \( x = 70 \) vào phương trình (2):
\[
70 + y = 120
\]
\[
y = 120 - 70 = 50
\]

Vậy số viên bi của Hòa là 70 viên, và số viên bi của Bình là 50 viên.

**Kết luận:**

- Hòa có: 70 viên bi
- Bình có: 50 viên bi