Để chứng minh rằng các đường thẳng \( a: m(x-5) - 2y = 6 \) và \( b: mx - 2y = 6 \) luôn đi qua một điểm cố định khi \( m \) thay đổi, ta cần tìm nghiệm chung của hai phương trình này theo \( m \).

### Bước 1: Biến đổi phương trình a

Phương trình a:

\[
m(x-5) - 2y = 6
\]

Chúng ta có thể biến đổi nó thành:

\[
mx - 5m - 2y = 6
\]

### Bước 2: Biến đổi phương trình b

Phương trình b:

\[
mx - 2y = 6
\]

### Bước 3: Giải hệ phương trình

Bây giờ, chúng ta có hai phương trình:

1. \( mx - 5m - 2y = 6 \)
2. \( mx - 2y = 6 \)

Lấy hai phương trình trên để tìm \( x \) và \( y \).

Từ phương trình thứ hai, ta có:

\[
mx - 2y = 6 \implies 2y = mx - 6 \implies y = \frac{mx - 6}{2}
\]

Thay thế giá trị của \( y \) vào phương trình thứ nhất:

\[
mx - 5m - 2\left(\frac{mx - 6}{2}\right) = 6
\]

Giải phương trình:

\[
mx - 5m - (mx - 6) = 6
\]

Giản lược:

\[
-mx + 6 - 5m = 6
\]

\[
-mx - 5m = 0
\]

Đặt điều kiện để \( m \neq 0 \):

\[
-mx = 5m
\]

Hệ số \( m \) có thể chia cả hai vế cho \( m \):

\[
x = -5
\]

### Bước 4: Tìm y

Thay \( x = -5 \) vào phương trình b để tìm \( y \):

\[
m(-5) - 2y = 6
\]

\[
-5m - 2y = 6
\]

\[
-2y = 5m + 6
\]

\[
y = -\frac{5m + 6}{2}
\]

### Bước 5: Kết luận

Như vậy, ta tìm được điểm giao nhau của hai đường thẳng \( a \) và \( b \) là:

\[
\left(-5, -\frac{5m + 6}{2}\right)
\]

Có thể thấy rằng mặc dù \( y \) phụ thuộc vào \( m \), nhưng giá trị của \( x \) luôn là \(-5\). Điều này chứng minh rằng cả hai đường thẳng luôn đi qua cùng một điểm cố định (với tất cả các giá trị của \( m \)), với giá trị \( x = -5 \) và \( y \) thay đổi khi \( m \) thay đổi.

Do đó, hai đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định \( (-5, y) \) với \( y = -\frac{5m + 6}{2} \) khi \( m \) thay đổi.