Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt xử lý các phần (a) và (b).

### a) Tính các góc của tam giác ABC.

1. **Xác định các điểm**: Cho đường tròn (O) với đường kính BC, vậy O là trung điểm của đoạn BC. Do đó, OA vuông góc với BC (theo định lý đường kính).

2. **Gọi các góc**:
- Gọi ∠ABC = x và ∠ACB = y.

3. **Sử dụng định lý về đường kính**: Bởi vì AO là bán kính, OA ⊥ BC. Do đó, ∠OAB = ∠OAC = 90°.

4. **Tổng các góc trong tam giác**: Ta có:
\[
\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180°
\]
Mà ∠BAC = ∠OAB + ∠OAC = 90° + 90° = 90° và vì thế:
\[
\angle ABC + \angle ACB = 90°
\]

Như vậy, trong tam giác ABC, ta có góc A là góc vuông, và:
- ∠ABC + ∠ACB = 90°.

### b) Tính độ dài cung AC và diện tích hình quạt nằm trong (O) giới hạn bởi các bán kính OA và OC, biết rằng BC = 6 cm.

1. **Tính bán kính**:
Vì BC là đường kính, ta có:
\[
r = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ cm}
\]

2. **Tính độ dài cung AC**: Đoạn AC nằm trong đường tròn (O) có bán kính 3 cm. Ở đây, chúng ta cần tính góc A (90°):
- Độ dài của cung AC:
\[
L_{AC} = \frac{90}{360} \times 2\pi r = \frac{1}{4} \times 2\pi \times 3 = \frac{3\pi}{2} \text{ cm}
\]

3. **Tính diện tích hình quạt**:
- Diện tích hình quạt nằm trong (O):
\[
S_{quạt} = \frac{90}{360} \times \pi r^2 = \frac{1}{4} \times \pi \times 3^2 = \frac{1}{4} \times 9\pi = \frac{9\pi}{4} \text{ cm}^2
\]

### Tóm lại:

- Các góc của tam giác ABC: ∠BAC = 90° và ∠ABC + ∠ACB = 90°.
- Độ dài cung AC: \( \frac{3\pi}{2} \) cm.
- Diện tích hình quạt: \( \frac{9\pi}{4} \) cm².