Cho ba số thực a, b, c khác 0 thỏa mãn

Để chứng minh biểu thức \( \frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} = a + b + c \) với điều kiện \( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} = 2 \), ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Titu (còn gọi là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz).

Theo Titu, có:

\[
\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} \geq \frac{(a+b+c)^2}{(b+c) + (c+a) + (a+b)} = \frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)} = \frac{a+b+c}{2}.
\]

Đồng thời, từ điều kiện đã cho là:

\[
\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} = 2.
\]

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta cũng có thể viết lại điều này:

\[
( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} ) \cdot ((b+c) + (c+a) + (a+b)) \geq (a + b + c)^2.
\]

Thay lại điều kiện ta có:

\[
2 \cdot 2(a+b+c) \geq (a+b+c)^2.
\]

Nếu đặt \( s = a + b + c \), ta có:

\[
4s \geq s^2 \Rightarrow s^2 - 4s \leq 0 \Rightarrow s(s - 4) \leq 0.
\]

Kết luận là \( s \leq 4 \) và \( s \geq 0 \).

Từ đó, ta đã chứng minh được rằng:

\[
\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} \leq a + b + c.
\]

Kết hợp với bất đẳng thức Titu vừa rồi, ta có:

\[
\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} \geq \frac{a+b+c}{2} \quad \text{và} \quad \frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} \leq a + b + c.
\]

Kết hợp cả hai bất đẳng thức trên, ta suy ra rằng:

\[
\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} = a + b + c.
\]

Do đó, ta đã chứng minh được đúng yêu cầu trong bài toán.