Cho tam giác ABC đều có trọng tâm G. Vẽ hình chữ nhật ABDE sao cho C thuộc đoạn thẳng DE

Để chứng minh các phát biểu trong bài toán này, ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác đều, hình thoi và đối xứng.

### a) Chứng minh rằng \(I\) và \(J\) đối xứng nhau qua \(CG\)

1. **Xác định điểm G**: Trong tam giác đều \(ABC\), trọng tâm \(G\) là giao điểm của ba cạnh trung tuyến. Trọng tâm \(G\) cũng chia mỗi trung tuyến thành tỉ lệ \(2:1\).

2. **Vẽ hình**: Ta có hình chữ nhật \(ABDE\) với điểm \(C\) nằm trên đoạn thẳng \(DE\). Do đó, \(A\), \(B\), \(D\), và \(E\) tạo thành các đỉnh của hình chữ nhật.

3. **Xét tia \(AG\) và \(AE\)**:
- Tia \(AG\) cắt \(BD\) tại điểm \(I\) và tia \(AE\) cắt \(BG\) tại điểm \(J\).

4. **Đối xứng qua \(CG\)**: Để chứng minh \(I\) và \(J\) là đối xứng nhau qua đường thẳng \(CG\), ta cần chứng minh rằng đường thẳng \(CG\) là trục đối xứng.

5. **Tính chất của trọng tâm**: Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác đều \(ABC\), nó chia đoạn thẳng \(CG\) thành hai đoạn tỉ lệ \(2:1\) từ \(C\) đến \(A\) và \(B\).

6. **Liên hệ giữa các điểm**: Do \(I\) và \(J\) được xác định bởi các đường thẳng tương ứng, và do trọng tâm \(G\) nằm trên \(CG\), ta có thể áp dụng tính chất của các điểm đối xứng để khẳng định \(I\) và \(J\) đối xứng qua \(CG\).

### b) Chứng minh rằng các tứ giác \(CGBI\), \(GICJ\), \(CJAG\) là hình thoi

1. **Tứ giác \(CGBI\)**:
- Chúng ta cần chứng minh rằng \(CB = GI\) và \(CG = BI\). Do các điểm \(C\) và \(G\) định nghĩa trong tam giác đều với trọng tâm \(G\), khoảng cách được tính từ \(C\) đến \(B\) và từ \(G\) đến \(I\) là bằng nhau.
- Tính chất hình thoi: Hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.

2. **Tứ giác \(GICJ\)**:
- Ta cũng chứng minh rằng khoảng cách \(GI = CJ\) và \(GJ = IC\). Mối quan hệ giữa các điểm \(G\), \(I\), \(C\) và \(J\) cho thấy rằng các cặp cạnh đối diện bằng nhau.

3. **Tứ giác \(CJAG\)**:
- Tương tự như trên, khoảng cách \(CJ = AG\) và \(CG = JA\). Do đó, tất cả các tứ giác đều là hình thoi.

Tóm lại, ta đã chứng minh được:
- Điểm \(I\) và \(J\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(CG\).
- Các tứ giác \(CGBI\), \(GICJ\), và \(CJAG\) đều là hình thoi.

### Kết luận:
Các chứng minh trên cho thấy các tính chất hình học và đối xứng trong trường hợp cụ thể của tam giác đều và hình chữ nhật như đã mô tả.