Cho hình thang abcd có ad//bc và ad nhỏ hơn bc. Quan d kẻ đường thẳng de song song ab

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ xét hình thang \( ABCD \) với \( AD \parallel BC \) và \( AD < BC \) và khảo sát theo từng phần yêu cầu.

### a) Chứng minh \( ADEB \) và \( ADQM \) là hình bình hành

1. **Hình bình hành \( ADEB \)**:
- Vì \( AD \parallel BC \), nên \( \angle ADE = \angle ABE \) và \( \angle ADB = \angle EBA \) (theo tính chất các đường thẳng song song).
- Vậy ta có \( AD = BE \) (vì là hai đoạn giao nhau của hai đáy vừa song song vừa bằng nhau). Do đó, \( ADEB \) là hình bình hành.

2. **Hình bình hành \( ADQM \)**:
- Ta có \( DQ \parallel AB \) (vì \( DQ \) được kẻ song song với \( AB \) và \( AD \) cũng song song với \( BC \)).
- Trong khi đó, \( N \) là trung điểm của \( DC \) và \( Q \) là trung điểm của \( DE \). Do đó, \( DN = NC \) và \( DQ = QA \).
- Từ đó cho thấy \( DQ = MQ \) và \( DN = AQ \).
- Vậy nên \( ADQM \) cũng là hình bình hành.

### b) Chứng minh \( MA = MB \)

- Trong hình thang \( ADEB \), vì \( ADEB \) là hình bình hành, cho nên đường chéo \( AE \) cắt đường chéo \( DB \) tại điểm \( M \).
- Do tính chất của hình bình hành, ta có \( MA = MB \).

### c) Chứng minh \( MN = \frac{AD + BC}{2} \)

- Từ tính chất hình bình hành \( ADEB \), ta có \( MN \) là trung đoạn nối giữa hai trung điểm \( N \) của \( DC \) và \( Q \) của \( DE \).
- Theo định lý trung đoạn, ta có:

\[
MN = \frac{AD + BC}{2}
\]

Điều này có thể hiểu là đoạn \( MN \) sẽ là nửa tổng của hai đoạn thẳng \( AD \) và \( BC \).

Tóm lại, chúc mừng bạn! Chúng ta đã chứng minh xong các yêu cầu của bài toán.