Xác định giá trị của a và b để đa thức x^4 - a^3 + bx^2 + 3 chia hết cho đa thức x^2 -1

Để đa thức \( P(x) = x^4 - a^3 + bx^2 + 3 \) chia hết cho đa thức \( Q(x) = x^2 - 1 \), thì \( P(x) \) phải có các giá trị \( P(1) \) và \( P(-1) \) bằng 0.

**Bước 1: Tính \( P(1) \)**

\[
P(1) = 1^4 - a^3 + b \cdot 1^2 + 3 = 1 - a^3 + b + 3 = -a^3 + b + 4
\]

Yêu cầu \( P(1) = 0 \):

\[
-a^3 + b + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad b = a^3 - 4 \quad \text{(1)}
\]

**Bước 2: Tính \( P(-1) \)**

\[
P(-1) = (-1)^4 - a^3 + b \cdot (-1)^2 + 3 = 1 - a^3 + b + 3 = -a^3 + b + 4
\]

Yêu cầu \( P(-1) = 0 \):

\[
-a^3 + b + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad b = a^3 - 4 \quad \text{(2)}
\]

**Bước 3: Kết luận**

Từ cả hai phương trình (1) và (2), ta thấy rằng chúng tương đương nhau. Suy ra, không có thêm điều kiện nào khác cho \( a \) và \( b \). Chúng ta chỉ cần chọn một giá trị cho \( a \), sau đó có thể tính được \( b \).

Vì vậy, giá trị của \( a \) và \( b \) được xác định bởi mối quan hệ:

\[
b = a^3 - 4
\]

Áp dụng cho một vài giá trị của \( a \):

- Nếu \( a = 0 \): \( b = 0^3 - 4 = -4 \)
- Nếu \( a = 1 \): \( b = 1^3 - 4 = -3 \)
- Nếu \( a = 2 \): \( b = 2^3 - 4 = 4 \)
- Nếu \( a = 3 \): \( b = 3^3 - 4 = 23 \)

Tóm lại, câu trả lời phụ thuộc vào giá trị của \( a \) được chọn.