Để chứng minh tứ giác MFEG là hình chữ nhật, ta sẽ sử dụng một số tính chất của các đoạn thẳng và góc trong hình.

1. **Giả thiết**: Tứ giác MNB là hình chữ nhật vuông góc tại M; do đó, có \(MN \perp MP\) và \(MN \parallel EG\), \(MF \parallel EG\).

2. **Gọi các điểm**:
- \(E\) là một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng \(NP\).
- Kẻ đường thẳng \(EF \parallel MP\) với \(F\) thuộc \(MN\), \(EG \parallel MN\) với \(G\) thuộc \(MP\).

3. **Chứng minh góc**:
- Vì \(EF \parallel MP\) và các đường thẳng này cắt nhau bởi đường thẳng \(MN\), có \( \angle MEF = \angle MNP\).
- Do tứ giác MNB là hình chữ nhật nên \(MP \perp MN\) và từ đó suy ra rằng \( \angle MEF = 90^\circ \).

4. **Chứng minh các cạnh**:
- Vì \(EG \parallel MN\) và \(MN\) là một trong hai cạnh của tứ giác MFEG, ta có \(EG \perp MF\) do tính chất của các đường thẳng song song.

5. **Kết luận**:
- Ta đã chứng minh được rằng tứ giác MFEG có hai cặp cạnh song song (\(EF \parallel MP\) và \(EG \parallel MN\)) và các góc tạo bởi các cặp cạnh đều là góc vuông. Từ đó, tứ giác MFEG là hình chữ nhật.

Vậy, tứ giác MFEG là hình chữ nhật.